Działania na wyrażeniach algebraicznych
Reguła opuszczania nawiasów
Jeżeli w wyrażeniu algebraicznym występują nawiasy, to nawiasy poprzedzone znakiem $+$ można usunąć bez zmiany znaków przed wyrazami w nawiasach, a
nawiasy poprzedzone znakiem $-$ można usunąć, zmieniając znak każdego wyrazu występującego w nawiasie na przeciwny.
Przykłady
$3x - y + (2x - 3y) = 3x - y + 2x - 3y$
$3x - y + (-x + 2y) = 3x - y - x + 2y$
$3x - y - (2x - 3y) = 3x - y - 2x + 3y$
$3x - y - (-x + 2y) = 3x - y + x - 2y$
Dodawanie i odejmowane wyrażeń algebraicznych
Aby wykonać dodawanie i odejmowanie, należy najpierw opuścić nawiasy, o ile istnieją, a następnie wykonać redukcję wyrazów podobnych, o ile to możliwe.
Przykłady
$3x - y + (2x - 3y) = \underline{3x} - y + \underline{2x} - 3y = 5x - 4y$
$3x - y + (-x + 2y) = \underline{3x} - y - \underline{x} + 2y = 2x + y$
$3x - y - (2x - 3y) = \underline{3x} - y - \underline{2x} + 3y = x + 2y$
$3x - y - (-x + 2y) = \underline{3x} - y + \underline{x} - 2y = 4x -3y $
Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne
Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną należy każdy wyraz sumy pomnożyć przez jednomian.
Przykłady
$3 \cdot (2x - 3y) = 3 \cdot 2x - 3 \cdot 3y = 6x - 9y$
$3x \cdot (2x + 3y) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3y = 6x^2 + 9xy$
$(2x - 3y) \cdot y = 2x \cdot y - 3y \cdot y = 2xy - 3y^2$
$(2x + 3y) \cdot 2x^2 = 2x \cdot 2x^2 + 3y \cdot 2x^2 = 4x^3 + 6x^2y$
Mnożenie sum algebraicznych
Aby pomnożyć jedną sumę algebraiczną przez drugą, należy każdy składnik pierwszej sumy pomnożyć przez każdy składnik drugiej sumy algebraicznej.
Przykłady
$(x + 1) \cdot (2x - 3y) = x \cdot 2x - x \cdot 3y + 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3y = 2x^2 - 3xy + 2x - 3y$
$(x - y) \cdot (2x - 3y) = x \cdot 2x - x \cdot 3y - y \cdot 2x + y \cdot 3y = 2x^2 - 3xy - 2xy + 3y^2 = 2x^2 - 5xy + 3y^2$
$(x + y) \cdot (a + b + c) = x \cdot a + x \cdot b + x \cdot c + y \cdot a + y \cdot b + y \cdot c = ax + ay + bx + by + cx + cy$
Uwaga: jeśli mnożymy sumę zawierającą $m$ składników przez sumę zawierającą $n$ składników, to w wyniku mnożenia powinniśmy otrzymać $m \cdot n$ składników.