logowanie

matematyka » analiza » rachunek różniczkowy » ekstremum funkcji

Ekstremum funkcji

Pojęcia minimum i maksimum lokalnego nie należy mylić z pojęciem wartości najmniejszej i największej w danym przedziale. Maksima i minima to punkty, w których krzywa znajduję się najwyżej i najniżej, jeśli dobrze się przyjrzeć, zauważa się, że tuż przed jest tym samym co tuż po. Ta właściwość charakteryzuje ekstremum.

Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x0.

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0:
        minimum lokalne ε>0 xS (x0,ε) f(x) f(x0) ,
        maksimum lokalne ε>0 xS (x0,ε) f(x) f(x0) ,
        minimum lokalne właściwe ε>0 xS (x0,ε) f(x)> f(x0) ,
        maksimum lokalne właściwe ε>0 xS (x0,ε) f(x)< f(x0) ,
Minima i maksima noszą wspólną nazwę ekstremów funkcji.

ekstremum funkcji

Warunek konieczny istnienia ekstremum (Twierdzenie Fermata)
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum i pochodną f '(x0), to f '(x0) = 0.

Funkcja f może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których pochodna jest równa zeru, bądĽ w których nie istnieje.

I warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 oraz ma pochodną f '(x0) w pewnym sąsiedztwie S(x0, δ) = S-(x0, δ)∪S+(x0, δ) oraz
a). f '(x0) < 0 dla każdego xS-(x0, δ) i f '(x0) > 0 dla każdego xS+(x0, δ), to funkcja f ma w punkcie x0 minimum (właściwe);
b). f '(x0) > 0 dla każdego xS-(x0, δ) i f '(x0) < 0 dla każdego xS+(x0, δ), to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (właściwe).
Mniej dokładnie określimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum, jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x0 zmienia znak.

II warunek wystarczający istnienia ekstremum
Jeżeli funkcja f spełnia następujące założenia:
    - ma pochodną f ''(x) w pewnym otoczeniu U(x0, δ),
    - f ''(x) jest ciągła w punkcie x0,
    - f '(x0) = 0 i f ''(x0) ≠ 0,
to funkcja f ma w punkcie x0:
    a). minimum właściwe, gdy f ''(x0) > 0
    b). maksimum właściwe, gdy f ''(x0) < 0.





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 84 drukuj