Elementarne przekształcenia macierzy

Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A = [a_ij]_m×n nazywamy następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy:

- (T₁) zamianę miejscami dwóch wierszy (kolumn),

- (T₂) pomnożenie dowolnego wiersza (kolumny) przez dowolny, różny od zera skalar,

- (T₃) dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) dowolnego innego wiersza (kolumny) tej macierzy, pomnożonej przez dowolny skalar.

Dwie macierze są równoważne, gdy jedną z nich możemy otrzymać z drugiej za pomocą skończonej liczby przekształceń elementarnych.

Przykład:

$A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{matrix}] \overset{T_{1} (w_{1} \leftrightarrow w_{2})}{\to} [\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{matrix}] \overset{T_{2} (2 \cdot k_{4})}{\to} [\begin{matrix} 1 & -2 & 1 & 6 \\ 2 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \end{matrix}] \overset{T_{3} (w_{1} = w_{1} + w_{2})}{\to} [\begin{matrix} 3 & -2 & 2 & 10 \\ 2 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 8 \end{matrix}]$