Liczby naturalne, zadanie nr 258

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
adenozynon postów: 10	2011-12-17 13:41:41 Liczbę naturalną nazywamy "trójkątną", jeśli jest ona sumą n-kolejnych liczb naturalnych począwszy od 1. Udowodnij, że liczba p jest "trójkątną", jeśli 8p+1 jest kwadratem liczby naturalnej i odwrotnie tzn. jeśli p jest liczbą "trójkątną", to 8p+1 jest kwadratem liczby naturalnej.

irena postów: 2636	2011-12-18 17:40:18 1) Niech p będzie liczbą trójkątną. Oznacza to, że istnieje naturalna liczba n taka, że $p=1+2+3+...+n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n^2+n}{2}$ Wtedy: $8p+1=\frac{8n^2+8n}{2}+1=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$ $2n+1\in N$ Liczba 8p+1 jest więc kwadratem liczby naturalnej. 2) Niech p będzie liczbą naturalną taką, że $8p+1=k^2$, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba po lewej stronie tej równości (8p+1) jest liczbą nieparzystą, więc liczba k jest liczbą nieparzystą, czyli istnieje taka liczba naturalna t, że k=2t+1. Wtedy: $8p+1=(2t+1)^2$ $8p+1=4t^2+4t+1$ $8p=4t^2+4t$ $p=\frac{t^2+t}{2}=\frac{1+t}{2}\cdot t=1+2+3+...+t$ wynika stąd, że p jest liczbą trójkątną Wiadomość była modyfikowana 2011-12-18 17:41:04 przez irena

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj