Geometria, zadanie nr 283
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| Szymon postów: 657 |  2012-01-12 21:13:50Bok kwadratu ABCD ma długość 3 dm. Prosta przechodząca przez wierzchołek A tego kwadratu przecina bok BC w punkcie L , a przekątną DB w punkcie K , który dzieli ją w stosunku $\frac{1}{3}$. Oblicz obwód czworokąta CDKL. |
| irena postów: 2636 | 2012-01-12 23:24:06 Dorysuj drugi kwadrat- identyczny do ABCD na boku BC na zewnątrz. Ten nowy kwadrat to kwadrat BMNC. Poprowadź przekątne AC, BD, MC. Poprowadź prostą AK tak, żeby K leżał na BC, L na BD i tak, żeby L podzielił BD w stosunku 1:3. P- środek przekątnej MC. $|BO|=\frac{3\sqrt{2}}{2}dm$ $|BL|=\frac{1}{4}|BD|$ $|BL|=\frac{3\sqrt{2}}{4}dm$ Odcinek AL jest środkową w trójkącie ABO. Ponieważ MC jest równoległy do BD, to odcinek AP jest środkową w trójkącie ACM. Poprowadź odcinek PR prostopadle do BM, R leży na BM. $|KB|=x$ $|AB|=3dm$ $|AR|=4,5=\frac{9}{2}dm$ $|PR|=1,5=\frac{3}{2}dm$ $\frac{|KB|}{|AB|}=\frac{|PR|}{|AR|}$ $\frac{x}{3}=\frac{1,5}{4,5}$ $\frac{x}{3}=\frac{1}{3}$ $|KB|=1dm$ Pole trójkąta KBL: $P_{KBL}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{4}\cdot1\cdot sin45^0=\frac{3\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{8}$ $P_{CDKL}=\frac{1}{2}\cdot3\cdot3-\frac{3}{8}=\frac{9}{2}-\frac{3}{8}=\frac{33}{8}dm^2$ |
| Szymon postów: 657 | 2012-01-13 07:19:35 irena : Interesujące rozumowanie lecz potrzebuje obwodu czworokąta CDKL.  |
| ewelika postów: 4 | 2012-01-22 18:53:58 tak, to rozwiązanie jest bardzo dobre, jednak czy obliczył już ktoś obwód czworokąta? a może jakieś wskazówki mogłabym uzyskać? |
| agus postów: 2387 | 2012-01-22 20:08:48 DK=2$\sqrt{2}$, KB=$\sqrt{2}$ W trójkącie ABK (tw.cosinusów) $AK^{2}$=$3^{2}$+$\sqrt{2}^{2}$-2$\cdot$3$\cdot$$\sqrt{2}$$\cdot$cos$45^{0}$=5 AK=$\sqrt{5}$ W trójkącie ABL (tw.Pitagorasa): $(\sqrt{5}+KL)^{2}$=$3^{2}$+$BL^{2}$ 5+2$\sqrt{5}$KL+$KL^{2}$=9+$BL^{2}$(1) a w trójkącie KLB (tw.cosinusów): $KL^{2}$=$\sqrt{2}^{2}$+$BL^{2}$-2$\cdot$$\sqrt{2}$$\cdot$BL$\cdot$cos$45^{0}$ $KL^{2}$=2+$BL^{2}$-2BL (2) wstawiając (2) do (1) otrzymujemy BL=$\sqrt{5}$KL-1 (3) wstawiając (3) do (1) otrzymujemy 4$KL^{2}$-4$\sqrt{5}$KL+5=0 delta=0 KL=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$ z (3) obliczamy BL BL=1$\frac{1}{2}$ CL=BL=1$\frac{1}{2}$ obwód CDKL= DC+DK+CL+KL=3+2$\sqrt{2}$+1$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$=4$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj