Liczby naturalne, zadanie nr 489
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| bumcykcyk postów: 1 |  2012-10-01 18:52:111. Wykaż, że różnica każdych dwóch liczb trzycyfrowych, napisanych za pomocą tych samych cyfr, jest podzielna przez 3. 2. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej x różnica iloczynu liczby i liczby od niej o 3 większej oraz iloczynu dwóch kolejnych liczb całkowitych większych od x jest równa -2. |
| tumor postów: 8070 | 2012-10-01 20:11:28 Zadanie 1. Liczba jest podzielna przez 3, gdy jej suma cyfr jest podzielna przez 3. Wynika to stąd, że każda naturalna potęga liczby 10 daje w dzieleniu przez 3 resztę 1. Np 100/3=33 i reszta 1. 10000/3=3333 i reszta 1. Dzięki temu każdą liczbę możemy zapisać jako sumę tego, co na pewno dzieli się przez 3 i reszt. Np. 2015 = 2*(999+1)+1*(9+1)+5= 2*999+1*9+2+1+5 Zauważmy, że 2*999+1*9 musi się dzielić przez trzy, wystarczy zatem sprawdzić, czy przez 3 dzieli się liczba 2+1+5. Właśnie suma cyfr. Sprawdzając czy pewna liczba dzieli się przez 3 sumujemy cyfry, czyli tak naprawdę sprawdzamy, ile jest takich reszt równych 1. Jeśli ich ilość jest podzielna przez 3, to cała liczba dzieli się przez 3. Ale mało tego! Jeśli suma cyfr przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, to i liczba, której cyfry sumujemy, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. A jeśli suma cyfr przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, to i liczba, której cyfry sumujemy, przy dzieleniu przez 3 da resztę 2. Mamy dwie liczby złożone z tych samych cyfr. Mają te same sumy cyfr, zatem mają te same reszty przy dzieleniu przez 3. Zatem ich różnica jest podzielna przez 3. |
| tumor postów: 8070 | 2012-10-01 20:14:19 Zadanie 2 $x*(x+3)-(x+1)*(x+2)=x^2+3x-x^2-3x-2=-2$ |
| agus postów: 2387 | 2012-10-01 22:44:03 1. Można i tak: 100x+10x+x i 100y+10y+y liczby trzycyfrowe o jednakowych cyfrach Załóżmy, że x>y Różnica liczb 100x+10x+x-100y-10y-y=100(x-y)+10(x-y)+1(x-y)= =(x-y)(100+10+1)=111(x-y) Otrzymana różnica jest podzielna przez 3, bo 111 dzieli się przez 3 |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj