Inne, zadanie nr 732
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| beta postów: 129 |  2014-11-14 21:47:15W trójkącie ABC wysokość opuszczona na bok AB dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, z których każdy jest podobny do trójkąta ABC. Jaka jest najmniejsza możliwa długość boku AB trójkąta ABC, jeśli długości boków wszystkich trzech trójkątów wyrażają się liczbami całkowitymi?  |
| irena postów: 2636 | 2014-11-20 10:14:18 Narysuj trójkąt ABC oraz wysokość CD opuszczoną na bok AB. Ponieważ trójkąty prostokątne ACD i BCD mają być podobne do do trójkąta ABC, więc trójkąt ABC musi być trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej AB. Oznacz: |AB|=c |AC|=a |BC|=b |CD|=h |AD|=x |BD|=y Z podobieństwa trójkątów wynika: $\frac{x}{a}=\frac{a}{c}$ $x=\frac{a^2}{c}$ $\frac{y}{b}=\frac{b}{c}$ $y=\frac{b^2}{c}$ $\frac{h}{a}=\frac{b}{c}$ $h=\frac{ab}{c}$ Liczby: a, b, c, x, y, h muszą być liczbami naturalnymi, więc liczby: $a^2,b^2,ab$ muszą dzielić się przez c. Najmniejszą długością boku AB przy naturalnych długościach boków trójkąta prostokątnego jest 5 (z trójki pitagorejskiej 3, 4, 5). Długości wszystkich boków trójkąta muszą więc dzielić się przez 5. Najmniejszą długością boku AB jest więc 25. Boki trójkąta prostokątnego ABC mieć muszą więc długości: 15, 20 i 25. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj