logowanie

matematyka » forum » gimnazjum » temat

Inne, zadanie nr 732

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Beata
postów: 127
2014-11-14 21:47:15

W trójkącie ABC wysokość opuszczona na bok AB dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, z których każdy jest podobny do trójkąta ABC. Jaka jest najmniejsza możliwa długość boku AB trójkąta ABC, jeśli długości boków wszystkich trzech trójkątów wyrażają się liczbami całkowitymi?


irena
postów: 2639
2014-11-20 10:14:18

Narysuj trójkąt ABC oraz wysokość CD opuszczoną na bok AB.
Ponieważ trójkąty prostokątne ACD i BCD mają być podobne do do trójkąta ABC, więc trójkąt ABC musi być trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej AB.

Oznacz:
|AB|=c
|AC|=a
|BC|=b
|CD|=h
|AD|=x
|BD|=y

Z podobieństwa trójkątów wynika:
$\frac{x}{a}=\frac{a}{c}$
$x=\frac{a^2}{c}$

$\frac{y}{b}=\frac{b}{c}$
$y=\frac{b^2}{c}$

$\frac{h}{a}=\frac{b}{c}$
$h=\frac{ab}{c}$

Liczby:
a, b, c, x, y, h muszą być liczbami naturalnymi, więc liczby:
$a^2,b^2,ab$
muszą dzielić się przez c.

Najmniejszą długością boku AB przy naturalnych długościach boków trójkąta prostokątnego jest 5 (z trójki pitagorejskiej 3, 4, 5).

Długości wszystkich boków trójkąta muszą więc dzielić się przez 5.

Najmniejszą długością boku AB jest więc 25.

Boki trójkąta prostokątnego ABC mieć muszą więc długości:

15, 20 i 25.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj