logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1092

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

agus_94
postów: 3
2011-12-01 14:55:46

1.
Dla jakich wartości parametrów a i b liczba x=-1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=$x^3-ax^2+bx-3$

2.
Wielonian W przy dzieleniu przez (x+3) daje resztę 6, a przy dzieleniu przez (x-2) daje resztę 1. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielonian P(x)=(x-2)(x+3)


Oprócz samego rozwiazania interesuje mnie szczególnie metoda jak co po koleji wyliczać.


irena
postów: 2636
2011-12-01 15:11:42

1.
$W(x)=(x+1)^2(x+k)=x^3-ax^2+bx-3$

$(x^2+2x+1)(x+k)=x^3-ax^3+bx-3$

$x^3+(k+2)x^2+(2k+1)x+k=x^3-ax^2+bx-3$


$k+2=-a$
$2k+1=b$
$k=-3$


$-a=-3+2=-1$

$-6+1=b$

$b=-5$

$\left\{\begin{matrix} a=1 \\ b=-5 \end{matrix}\right.$


irena
postów: 2636
2011-12-01 15:18:26

2.
$W(x)=Q(x)(x-2)(x+3)+ax+b$

$W(-3)=6$
$W(2)=1$

$W(-3)=0+a\cdot(-3)+b=6$
$W(2)=0+a\cdot2+b=1$

$\left\{\begin{matrix} -3a+b=6 \\ 2a+b=1 \end{matrix}\right.$

$-5a=5$

$a=-1$

$-2+b=1$

$b=3$

$\left\{\begin{matrix} a=-1 \\ b=3 \end{matrix}\right.$

$R(x)=-x+3$


irena
postów: 2636
2011-12-01 15:18:58

Pytaj, jak czegoś nie wiesz


agus_94
postów: 3
2011-12-01 16:18:57

1. kompletnie nie wiem skąd się wzięło W(x)=(x+1)2(x+k)=x3-ax2+bx-3 co oznacza się jako to k ?

2. nie mam pojęcia też jak powstał ten wielomian
W(x)=Q(x)(x-2)(x+3)+ax+b


irena
postów: 2636
2011-12-01 16:50:09

1.
Liczba -1 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu, jeśli wielomian dzieli się bez reszty przez $(x+1)^2$ bez reszty.
Inaczej - wielomian W(x) można zapisać jako iloczyn wielomianu $(x+1)^2$ przez inny wielomian - jakiś na przykład P(x).

Ponieważ wielomian W(x) jest trzeciego stopnia, więc wielomian P(x) jest pierwszego stopnia i współczynnik przy x wielomianu P(x) jest równy 1.
Stąd:
P(x)=x+k
i
$W(x)=(x+1)^2\cdot (x+k)$


irena
postów: 2636
2011-12-01 16:52:19

2.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian drugiego stopnia - a takim jest wielomian (x-2)(x+3) - jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego, czyli tutaj reszta, wielomian R(x) jest postaci
R(x)=ax+b.

Stąd:
$W(x)=Q(x)(x-2)(x+3)+R(x)=Q(x)(x-2)(x+3)+ax+b$


agus_94
postów: 3
2011-12-01 16:57:22

Dziękuję ślicznie teraz rozumiem, a przynajmniej tak mi się wydaje ;]

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj