logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Indukcja matematyczna, zadanie nr 1117

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

yeti_007
postów: 19
2011-12-08 20:21:37

Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij, że $\1+ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n} $ dla $\n\ge 2 $


irena
postów: 2636
2011-12-08 20:43:48

n=2
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}>\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Z.
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k}$

T.
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}$

D.
$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}=$

$=\frac{k}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\frac{k}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}=\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}$

cbdo

Wiadomość była modyfikowana 2011-12-08 21:57:03 przez irena

yeti_007
postów: 19
2011-12-08 20:57:16

dziękuję uprzejmie :)


yeti_007
postów: 19
2011-12-08 21:18:52

Mogłaby Pani rozpisać jakoś inaczej dwie ostatnie linijki bo pogubiłem się że w jednej linijce jest znak nierówności i równa się... na dodatek dlaczego gdy już podstawiam k nagle pojawiło się n?


irena
postów: 2636
2011-12-08 21:56:37

Tam ma być "k". To "n" to pomyłka klawiszy


irena
postów: 2636
2011-12-08 21:59:45

Pierwszy znak nierówności wynika z założenia.
Później jest "=", bo przekształcam wyrażenie.
Następny znak nierówności wynika z nierówności
$\frac{1}{\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
I późniejsze znaki "=" wynikają z faktu, że przekształcam dane wyrażemie

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj