Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1125
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
lazy2394 post贸w: 50 |  2011-12-08 21:58:421.Wyka偶, 偶e dla ka偶dej liczby naturalnej n liczba n^5-n jest podzielna przez 30. 2.Wyka偶, 偶e je艣li p jest liczb膮 pierwsz膮 wi臋ksz膮 od 3, to p^2-1 jest liczb膮 podzieln膮 przez 24. 3.Wyka偶, 偶e je偶eli liczba n jest sum膮 kwadrat贸w dw贸ch liczb ca艂kowitych, to liczba 5n r贸wnie偶 ma t臋 w艂asno艣膰 |
irena post贸w: 2636 | 2011-12-08 22:06:35 1. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$ n(n-1)(n+1) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych. W艣r贸d trzech kolejnych liczb naturalnych jest co najmniej jedna parzysta i jedna podzielna przez 3. Iloczyn tych liczb jest wi臋c podzielny przez 6. Je艣li jedna z liczb: n, (n-1), (n+1) jest podzielna przez 5, to iloczyn tych liczb dzieli si臋 przez $6\cdot5=30$ Je艣li 偶adna z liczb: n, (n-1), (n+1) nie dzieli si臋 przez 5, to znaczy, 偶e liczba n daje w dzieleniu przez 5 reszt臋 r贸wn膮 2 lub reszt臋 r贸wn膮 3. Wtedy liczba $n^2+1$ dzieli si臋 przez 5, bo: - je艣li $n=5k+2$ to $n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)$ - je艣li $n=5k+3$, to $n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+15k+2)$ Iloczyn liczb $n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n^5-n$ dzieli膰 si臋 musi przez 5. cbdo |
irena post贸w: 2636 | 2011-12-08 22:12:09 2. p to liczba pierwsza wi臋ksza od 3. Jest wi臋c na pewno liczb膮 nieparzyst膮. $p^2-1=(p-1)(p+1)$ Liczby (p-1) i (p+1) musz膮 by膰 liczbami parzystymi (bo p jest nieparzyste). S膮 to dwie kolejne liczby parzyste. Jedna z nich dzieli膰 si臋 wi臋c musi przez 4. Iloczyn takich liczb (dw贸ch kolejnych parzystych) dzieli si臋 przez 8. Liczby: (p-1), p, (p+1) to trzy kolejne liczby naturalne. W艣r贸d nich musi by膰 liczba podzielna przez 3. Poniewa偶 p jest wi臋ksze od trzech i jest to liczba pierwsza (wi臋c nie dzieli si臋 przez 3), wi臋c jedna z liczb: (p-1) lub (p+1) dzieli膰 si臋 musi przez 3. Zatem: $(p-1)(p+1)=p^2-1$ dzieli si臋 na pewno przez $8\cdot3=24$ cbdo |
irena post贸w: 2636 | 2011-12-08 22:18:03 3. $n=a^2+b^2$ $5n=5a^2+5b^2=4a^2+b^2+a^2+4b^2=(2a+b)^2+(a-2b)^2$ |
sewar post贸w: 1 | 2012-10-19 20:52:53 Mam pytanie do 1-szego: je艣li 偶adna z liczb: n, (n-1), (n+1) nie dzieli si臋 przez 5, to dlaczego liczba n daje w dzieleniu przez 5 reszt臋 r贸wn膮 2 lub reszt臋 r贸wn膮 3? |
irena post贸w: 2636 | 2012-10-20 07:26:33 Mo偶liwe reszty w dzieleniu przez 5 to: 0, 1, 2, 3, lub 4. Liczba n nie daje w tym dzieleniu reszty 0, bo nie jest podzielna przez 5. Liczba n nie daje te偶 reszty 1, bo wtedy liczba (n-1) dawa艂aby reszt臋 0, czyli by艂aby podzielna przez 5. Liczba n nie daje te偶 w tym dzieleniu reszty 4, bo wtedy liczba (n+1) by艂aby podzielna przez 5. Zostaj膮 wi臋c do rozpatrzenia przypadki om贸wione w rozwi膮zaniu, czyli- reszty 2 oraz 3. Mam nadziej臋, 偶e rozwia艂am w膮tpliwo艣ci... |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj