logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Inne, zadanie nr 115

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aanniiaa
postów: 1
2010-06-11 22:14:39

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)= 3x^{3}+(a^{2}+3)x^{2} -ax - a^{3} przez dwumian (x+1) wynosi -2. Oblicz wartość parametru a. Dla znalezionej wartości parametru wyznacz pierwiastki wielomianu W(x). ( znak taki : ^{2} oznacza do potegi 2 , a znak ^{3} znaczy że do potegi 3)


zorro
postów: 106
2010-06-14 05:01:46

Jeśli wiesz jak się dzieli wielomiany to możesz od razu znaleźć postać reszty $R=-a^{3}+a^{2}+a=-2$
czyli $a^{3}-a^{2}-a-2=0$
Jeśli nie, to zauważ, że wielomian W(x) dzieli się z resztą -2 gdy:
$W(x)=Q(x)(x+1)-2$ gdzie Q(x) będzie drugiego stopnia zatem:
$3x^{3}+(a^{2}+3)x^{2}-ax-a^{3}=(Ax^{2}+Bx+c)(x+1)-2$
$3x^{3}+(a^{2}+3)x^{2}-ax-a^{3}=Ax^{3}+(A+B)x^{2}+(B+C)x+C-2$
Przyrównując współczynniki przy odpowiednich potęgach mamy:
$A=3$
$A+B=3+B=a^{2}+3 \Rightarrow B=a^{2}$
$B+C=a^{2}+C=-a \Rightarrow C=-a^{2}-a$
$C-2=-a^{3} \iff -a^{2}-a-2=-a^{3} \iff a^{3}-a^{2}-a-2=0$
co jest naszym równaniem reszty
Gdy a=2 to lewa strona =0, więc 2 jest pierwiastkiem wielomianu po lewej. Dzieląc $a^{3}-a^{2}-a-2$ przez (a-2) mamy
$a^{3}-a^{2}-a-2=(a-2)(a^{2}+a+1)=0$
Drugi czynnik jest zawsze dodatni (brak pierwiastków) więc jedynym rozwiązaniem jest a=2.
Wstawiamy teraz a=2 do równania W(x)=0 aby znaleźć pierwiastki.
$W(x)=3x^{3}+(2^{2}+3)x^{2}-2x-2^{3}=0$
$3x^{3}+7x^{2}-2x-8=0$
Szukamy pierwszego rozwiązania wśród podzielników wyrazu wolnego {1,-1,2,-2,4-4,8,-8}. Od razu widać, że dla x=1 mamy 3+7-2-8=0.
1 Jest pierwiastkiem. Dzielimy teraz wielomian W(x) przez (x-1).
$W(x)=(x-1)(3x^{2}+10x+8)=0$
$\Delta=100-4\cdot3\cdot8=4$
$\sqrt{\Delta}=2$
$x_{1}=\frac{-10-2}{6}=-2$
$x_{2}=\frac{-10+2}{6}=-\frac{4}{3}$
czyli
$W(x)=3(x+2)(x+\frac{4}{3})(x-1)=0$
Pierwiastki:
$x_{1}=-2$
$x_{2}=-\frac{4}{3}$
$x_{3}=1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj