Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1179

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
annulka postów: 30	2011-12-23 13:02:22 Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba: a) $\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6}$ jest całkowita b) $\frac{n^4}{24} + \frac{n^3}{4} + \frac{11n^2}{24} + \frac{n}{4}$ jest całkowita Z góry dziękuję ;) Wiadomość była modyfikowana 2011-12-23 16:46:54 przez Szymon

Szymon postów: 657	2011-12-23 16:55:06 a) $\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6} = k$ k - liczba całkowita $\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n^3}{6} = k/\cdot6$ $2n + 3n^2 + n^3 = 6k$ Wyrażenie $2n + 3n^2 + n^3$ musi być podzielne przez 6 dla każdej liczby naturalnej n. $n^3 + 3n^2 + 2n = 6k$ $n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n = 6k$ $n^2(n+1) + 2n(n+1) = 6k$ $n^2(n+1) + 2n(n+1) = 6k$ $(n+1)(n^2+2n) = 6k$ $(n+1)(n(n+2)) = 6k$ $n(n+1)(n+2) = 6k$ $n(n+1)(n+2)$ To wyrażenie które jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych , wśród nich jest na pewno liczba parzysta(podzielna przez 2) i liczba podzielna przez 3. A liczba podzielna przez 6 jest podzielna przez 2 i 3. Wiadomość była modyfikowana 2011-12-23 20:36:49 przez Szymon

irena postów: 2636	2011-12-26 10:03:55 $\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}$ $n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)=n(n^3+n^2+5n^2+5n+6n+6)=$ $=n[n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]=n(n+1)(n^2+5n+6)=$ $=n(n+1)(n+2)(n+3)$ Liczba n(n+1)(n+2)(n+3) to iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych. Wśród czterech kolejnych liczb naturalnych musi być liczba podzielna przez 3. Musi być też wśród nich liczba podzielna przez 4 oraz jedna liczba parzysta, która w dzieleniu przez 4 daje resztę równą 2. Iloczyn takich liczb dzieli się więc przez $3\cdot4\cdot2=24$. Liczba n(n+1)(n+2)(n+3) dzieli się przez 24, czyli n(n+1)(n+2)(n+3)=24k, gdzie k jest liczbą całkowitą. Stąd liczba $\frac{n^4+6n^3+11n^2+n}{24}=\frac{24k}{24}=k\in C$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj