Planimetria, zadanie nr 1276
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
1629 post贸w: 3 |  2012-01-14 00:08:461. W trojkacie prostokatnym ABC przyprostokatne AC i BC maja dlugosci odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D,ze odcinki BC i BD maja rowne dlugosci. Oblicz cosinus kata BCD, promien okrego wpisanego w trojkat BCD i promien okregu opisanego na tym trojkacie. 2.w trapezie ABCD dlugosc dluzszej podstawy AB=10 oraz dlugosc ramienia AD=6. Dwusieczna kata BAD przecina podstawe DC w punkcie P. oblicz dlugosc krotszej podstawy trapezu, jezeli pole czworokata ABCP jest dwa razy wieksze od pola trojkata ABS, gdzie S jest punktem przeciecia odcinka AP z przekatna DB. 3.Bok kwadratu ABCD ma dlugosc 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by CE=2DF. Oblicz wartosc x=DF, dla ktorej pole trojkata AEF jest najmniejsze. 4.Na bokach BC i CD rownolegloboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH. Udowodnij, ze AC=FG (RYS) http://www.fotosik.pl/pokaz_obrazek/4d8f00776ec22242.html |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-14 10:00:05 3. DF =x, CE=2x Pole tr贸jk膮ta AFE obliczymy odejmuj膮c od pola kwadratu pola trzech tr贸jk膮t贸w prostok膮tnych: 1-$\frac{1}{2}$$\cdot$1$\cdot$x-$\frac{1}{2}$$\cdot$1$\cdot$(1-2x)-$\frac{1}{2}$$\cdot$2x$\cdot$(1-x)= =$x^{2}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$ najmniejsz膮 warto艣膰 przyjmuje ta funkcja dla x=$\frac{1}{2}$:2=$\frac{1}{4}$ (pierwsza wsp贸艂rz臋dna wierzcho艂ka paraboli danej r贸wnaniem jak wy偶ej) |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-14 10:13:12 4. $\angle$BCG=$90^{0}$ $\angle$DCF=$90^{0}$ niech $\angle$ABC=$\alpha$ zatem $\angle$BCD=$180^{0}$-$\alpha$ wobec tego $\angle$GCF=$\alpha$ GC=BC AB=CF st膮d tr贸jk膮ty ABC i FCG s膮 przystaj膮ce zatem AC=FG |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-14 10:38:03 1. Z twierdzenia Pitagorasa AB=15. BD=9, DA=6 Z punktu D prowadzimy odcinek DE prostopad艂y do AC. Je艣li BD to $\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$ AB, to CE to te偶 $\frac{3}{5}$ AB (twierdzenie Talesa) CE=$\frac{3}{5}$$\cdot$12=7,2 Z twierdzenia Pitagorasa DC=3,6$\sqrt{5}$ Z twierdzenia cosinus贸w cos $\angle$BCD=$\frac{9^{2}+3,6^{2}\cdot5-9^{2}}{2\cdot9\cdot3,6\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ promie艅 okr臋gu opisanego na tr贸jk膮cie BCD R=$\frac{a}{2sin\alpha}$ z jedynki trygonometrycznej sin$\alpha$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ R=$\frac{9\cdot\sqrt{5}}{4}$ promie艅 okr臋gu wpisanego w tr贸jk膮t BCD r= $\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$, gdzie p to po艂owa obwodu tr贸jk膮ta obw贸d tr贸jk膮ta BCD 18+3,6$\sqrt{5}$ po艂owa obwodu 9+1,8$\sqrt{5}$ r=$\sqrt{\frac{(9+1,8\sqrt{5}-3,6\sqrt{5})(9+1,8\sqrt{5}-9)^{2}}{9+1,8\sqrt{5}}}$=4,5-0,9$\sqrt{5}$ Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-01-14 16:48:28 przez agus |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-14 11:34:41 2. P贸艂prosta AP jest dwusieczn膮 k膮ta BAD zatem $\angle$BAP=$\angle$DAP=$\alpha$ z w艂asno艣ci trapezu (r贸wnoleg艂o艣ci AB i DC) wynika,偶e $\angle$DPA=$\alpha$ zatem tr贸jk膮t ADP jest r贸wnoramienny i DP=6 tr贸jk膮ty ABS i DPS s膮 podobne (trzy takie same k膮ty, jeden przy wierzcho艂ku S, drugi $\alpha$) st膮d wysoko艣ci tych tr贸jk膮t贸w mo偶na oznaczy膰 odpowiednio 10h i 6h, a trapezu ABCD 16h $\frac{16h}{6}$ =sin$2\alpha$ 16 h= 6sin$2\alpha$ h=0,375sin$2\alpha$ niech PC=x Pole trapezu ABCP wynosi $\frac{1}{2}$(10+x)$\cdot$6sin$2\alpha$ a dwa pola tr贸jk膮ta ABS 2$\cdot$$\frac{1}{2}$$\cdot$10$\cdot$10$\cdot$0,375sin$2\alpha$ por贸wnuj膮c te wyra偶enia otrzymujemy 30+3x=37,5 x=2,5 zatem kr贸tsza podstawa DC wynosi 6+2,5=8,5 |
1629 post贸w: 3 | 2012-01-14 15:37:28 D jest 艣rodkiem AB zatem BD=AD=7,5 skad wiesz ze jest srodkiem ? Odcinek CB i DB maja po 9, chyba zle zrozumialas tresc-albo ja. Dziekuje goraco! |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-14 15:43:15 1.Rzeczywi艣cie, 藕le odczyta艂am tre艣膰 zadania, wi臋c rozwi膮zanie jest dla innego zadania. Ju偶 poprawi艂am. Obliczenia s膮 masakryczne, zw艂aszcza promie艅 okr臋gu wpisanego. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-01-14 16:32:56 przez agus |
1629 post贸w: 3 | 2012-01-14 16:01:41 Zrobisz to zadanko poprawnie ? Bo ja probowalem jakos tw cosinusow to mi wychodzi beznadziejnie |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-14 22:11:58 dok艂adne wyliczenia cos$\angle$BCD=$\frac{3,6\cdot3,6\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}{2\cdot9\cdot3,6\cdot\sqrt{5}}$=0,2$\cdot$$\sqrt{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$ $\sqrt{\frac{1,8^{2}\cdot\sqrt{5}^{2}(9+1,8\sqrt{5}-3,6\sqrt{5})}{9+1,8\sqrt{5}}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$$\cdot$$\sqrt{\frac{(9-1,8\sqrt{5})^{2}}{9^{2}-1,8^{2}\cdot\sqrt{5}^{2}}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\sqrt{\frac{1}{81-16,2}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\sqrt{\frac{1}{64,8}}$=1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\sqrt{\frac{1}{4\cdot9\cdot9\cdot0,2}}$= 1,8$\cdot$$\sqrt{5}$(9-1,8$\sqrt{5}$)$\cdot$$\frac{1}{2\cdot3\cdot3\cdot\sqrt{\frac{1}{5}}}$=0,1$\cdot$5(9-1,8$\sqrt{5})$=4,5-0,9$\sqrt{5}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj