Stereometria, zadanie nr 1318

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
jessica0303 postów: 146	2012-01-17 22:46:37 Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12.Kosinus kąta nachylenia tej krawędzi do płaszczyzny podstawy jest równy $\frac{\sqrt2}{3}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

wrobel93b postów: 13	2012-01-17 23:06:26 Informacje dostarczają nam, że: $cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ (kąt nachylenia krawędzi do przekątnej podstawy) Gdyby narysować ten ostrosłup to będziemy mieli (z definicji trygonometrycznych): $cos\alpha = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{12}$ $\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{12} / \cdot 12$ $4\sqrt{2} =\frac{a\sqrt{2}}{2} / \cdot 2$ $8\sqrt{2} = a\sqrt{2} / \cdot \sqrt{2}$ $16 = 2a / : 2 $ $a = 8$ $2^o$ Aby obliczyć objętość potrzebujemy: $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$ $P_p = a^2 = 64[cm^2]$ Aby obliczyć wysokość H stosujemy twierdzenie Pitagorasa: $H^2 + ({\frac {a\sqrt{2}}{2} })^2 = b^2$ $H^2 + (4\sqrt{2})^2 = 144$ $H^2 + 32 = 144$ $H^2 = 144 - 32$ $H^2 = 112$ $H = 4\sqrt{7} \vee H = -4\sqrt{7}\notin R_+$ $V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 4\sqrt{7} = \frac{256\sqrt{7}}{3} [cm^3]$ :) 3^o Liczymy sinus nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny Potrzebujemy wysokość ściany bocznej i wysokości ostrosłupa. Znowu liczby z tw. Pitagorasa: $h^2 + 4^2 = 12^2$ $h^2 + 16 = 144$ $h^2 = 144 - 16$ $h^2 = 128$ $h = 8\sqrt{2} \vee h = -8\sqrt{2} \notin R_+$ To teraz tylko: $sin\beta = \frac{H}{h} = \frac{4\sqrt{7}}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj