Geometria w uk艂adzie kartezja艅skim, zadanie nr 1340
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jessica0303 post贸w: 146 |  2012-01-19 23:39:52W tr贸jk膮cie prostok膮tnym ABC, gdzie |k膮t ACB| = 90 stopni, wierzcho艂ek B ma wsp贸艂rz臋dne (6,0) Prosta k: 11x + 2y - 6 = 0, zawieraj膮ca 艣rodkow膮 tr贸jk膮ta poprowadzon膮 z wierzcho艂ka C, przecina bok AB tr贸jk膮ta w punkcie S(1,-2$\frac{1}{2}$) Wyznacz wsp贸艂rz臋dne punkt贸w A i C. |
monte_christo post贸w: 23 | 2012-01-20 11:09:54 Punkt S jest 艣rodkiem odcinka AB zatem $\frac{6+x_{A}}{2}=1 $ oraz $ \frac{0+y_{A}}{2}=-2\frac{1}{2}$ St膮d punkt A ma wsp贸艂rz臋dne (-4,-5) Punkt S jest r贸wnie偶 艣rodkiem okr臋gu opisanego na tr贸jk膮cie ABC. Promie艅 tego okr臋gu jest r贸wny po艂owie odcinka AB. Zatem $r=\frac{1}{2}\sqrt{(6-(-4))^{2}+(0-(-5))^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{100+25}=\frac{1}{2}\sqrt{125}=\frac{5}{2}\sqrt{5}$ R贸wnanie okr臋gu ma posta膰 $(x-1)^{2}+(y+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ Wiemy 偶e punkt C le偶y na prostej k. Przekszta艂caj膮c wz贸r funkcji k otrzymujemy: $y=-\frac{11}{2}x+3 $ Punkt C jest puntem wsp贸lnym okr臋gu i prostej k. St膮d $\left\{\begin{matrix} (x-1)^{2}+(y+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4}\\y=-\frac{11}{2}x+3 \end{matrix}\right.$ Podstawiaj膮c drugie r贸wnanie do pierwszego i przekszta艂caj膮c otrzymujemy: $(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+3+2\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+5\frac{1}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(-\frac{11}{2}x+\frac{11}{2})^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(\frac{11}{2})^{2}(-x+1)^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}+(\frac{11}{2})^{2}(x-1)^{2}=\frac{125}{4} $ $\frac{125}{4}(x-1)^{2}=\frac{125}{4} $ $(x-1)^{2}=1 $ St膮d x=2 lub x=0. Zatem wsp贸艂rz臋dne punktu C wynosz膮 (2,-8) lub (0,3) |
agus post贸w: 2387 | 2012-01-20 11:15:34 Proponuj臋 rozwi膮zanie: S-艣rodek AB A=(x,y) zatem $\frac{x+6}{2}$=1 x=-4 $\frac{0+y}{2}$=-2$\frac{1}{2}$ y=-5 A=(-4,-5) Punkt C nale偶y do 艣rodkowej 11x+2y-6=0 y=-5,5x+3 zatem C=(x;-5,5x+3) (1) Tr贸jk膮t ABC jest prostok膮tny, wi臋c skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $(x+4)^{2}$+$(-5,5x+3+5)^{2}$+$(x+6)^{2}$+$(-5,5x+3)^{2}$=$(6+4)^{2}$+$5^{2}$ po uporz膮dkowaniu otrzymujemy 62,5$x^{2}$-125x=0 62,5x(x-2)=0 zatem x=0 lub x=2 a z (1) y=3 lub y=-8 st膮d C=(0,3) lub C=(2,-8) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj