logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 154

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kasia_c92
postów: 2
2010-09-19 12:59:20

prosze o pomoc!!!!!! uzasadnij, ze dla kazdej liczby naturalnej n liczba n do sześcianu + 5n jest podzielna przez 6


irena
postów: 2636
2010-09-20 09:36:16

Liczba dzieli się przez 6, jeśli jest liczbą parzystą i dzieli się przez 3.
1.
Pokażemy, że liczba $n^3+5n$ jest parzysta:
$n^3+5n=n(n^2+5)$
- jeśli n jest liczba parzystą, to wyjściowa liczba jest parzysta.
- jesli n jest liczbą nieparzystą, to jej kwadrat jest też liczba nieparzystą, więc liczba $n^2+5$ jest liczbą parzystą (suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta).

Iloczyn dwóch liczb naturalnych, z których jedna jest parzysta jest liczbą parzystą. Czyli liczba $n^3+5n=n(n^2+5)$ jest liczbą parzystą (dzieli się przez 2)

2.
Pokażemy, że liczba $n^3+5n$ dzieli się przez 3:
- jeśli liczba n dzieli się przez 3, to liczba wyjściowa dzieli się przez 3.
- jeśli liczba n nie dzieli się przez 3, to reszta z dzielenia jej przez 3 wynosi 1 lub 2. Czyli:
a) liczba n jest postaci 3k+1 (k to liczba naturalna) i wtedy:
$n^2+5=(3k+1)^2+5=9k^2+6k+1+5=9k^2+6k+6=3(3k^2+2k+2)$, więc liczba $n^2+5$ dzieli się przez 3.
b) liczba n jest postaci 3k+2 i wtdy:
$n^2+5=(3k+2)^2+5=9k^2+12k+4+5=9k^2+12k+9=3(3k^2+4k+3)$, więc liczba $n^2+5$ dzieli się przez 3.

Iloczyn dwóch liczb naturalnych, z których jedna dzieli się przez 3, dzieli się przez 3.

Pokazaliśmy więc, że liczba $n^3+5n$ dzieli się przez 2 i dzieli się przez 3, dzieli się więc przez 6.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 37 drukuj