Liczby rzeczywiste, zadanie nr 154

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kasia_c92 postów: 2	2010-09-19 12:59:20 prosze o pomoc!!!!!! uzasadnij, ze dla kazdej liczby naturalnej n liczba n do sześcianu + 5n jest podzielna przez 6

irena postów: 2636	2010-09-20 09:36:16 Liczba dzieli się przez 6, jeśli jest liczbą parzystą i dzieli się przez 3. 1. Pokażemy, że liczba $n^3+5n$ jest parzysta: $n^3+5n=n(n^2+5)$ - jeśli n jest liczba parzystą, to wyjściowa liczba jest parzysta. - jesli n jest liczbą nieparzystą, to jej kwadrat jest też liczba nieparzystą, więc liczba $n^2+5$ jest liczbą parzystą (suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta). Iloczyn dwóch liczb naturalnych, z których jedna jest parzysta jest liczbą parzystą. Czyli liczba $n^3+5n=n(n^2+5)$ jest liczbą parzystą (dzieli się przez 2) 2. Pokażemy, że liczba $n^3+5n$ dzieli się przez 3: - jeśli liczba n dzieli się przez 3, to liczba wyjściowa dzieli się przez 3. - jeśli liczba n nie dzieli się przez 3, to reszta z dzielenia jej przez 3 wynosi 1 lub 2. Czyli: a) liczba n jest postaci 3k+1 (k to liczba naturalna) i wtedy: $n^2+5=(3k+1)^2+5=9k^2+6k+1+5=9k^2+6k+6=3(3k^2+2k+2)$, więc liczba $n^2+5$ dzieli się przez 3. b) liczba n jest postaci 3k+2 i wtdy: $n^2+5=(3k+2)^2+5=9k^2+12k+4+5=9k^2+12k+9=3(3k^2+4k+3)$, więc liczba $n^2+5$ dzieli się przez 3. Iloczyn dwóch liczb naturalnych, z których jedna dzieli się przez 3, dzieli się przez 3. Pokazaliśmy więc, że liczba $n^3+5n$ dzieli się przez 2 i dzieli się przez 3, dzieli się więc przez 6.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj