Geometria, zadanie nr 1598
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
bilderberg post贸w: 1 |  2012-03-24 20:55:55Na prostok膮cie o d艂ugo艣ci a i b opisano okr膮g. Wykazac, 偶e suma kwadrat贸w odleg艂o艣ci dowolnego punktu na okr臋gu od prostych zawieraj膮cych boki prostok膮ta jest sta艂a i wynosi $a^{2}+b^{2}$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-03-24 20:58:20 przez Szymon |
tumor post贸w: 8070 | 2012-09-11 11:31:22 Narysujmy sobie prostok膮t $ABCD$ wpisany w okr膮g. Je艣li punkt $P$ jest kt贸rym艣 z wierzcho艂k贸w, to odleg艂o艣ci do dw贸ch prostych zawieraj膮cych boki i punkt $P$ wynosz膮 $0$, natomiast do pozosta艂ych dw贸ch prostych zawieraj膮cych boki odpowiednio $a$ i $b$. $0^2+0^2+a^2+b^2 = a^2+b^2$ We藕my zatem punkt $P$ okr臋gu nie b臋d膮cy 偶adnym z wierzcho艂k贸w, dla ustalenia uwagi niech znajduje si臋 on na 艂uku $CD$. Odleg艂o艣膰 punktu $P$ od prostej $CD$ oznaczmy $c$ Odleg艂o艣膰 punktu $P$ od prostej $AD$ oznaczmy $d$ Odleg艂o艣膰 punktu $P$ od prostej $AB$ oznaczmy $e$ Odleg艂o艣膰 punktu $P$ od prostej $BC$ oznaczmy $f$ Zauwa偶my, 偶e $c^2+d^2 = |PD|^2$ Podobnie $e^2+f^2 = |PB|^2$ Zatem $c^2+d^2+e^2+f^2=|PD|^2+|PB|^2$ Tr贸jk膮t $PBD$ jest prostok膮tny, gdy偶 jednym z bok贸w jest 艣rednica $BD$ okr臋gu. Ponadto wiemy, 偶e $|BD|^2=a^2+b^2$ Zatem $c^2+d^2+e^2+f^2=|PD|^2+|PB|^2 = |BD|^2=a^2+b^2$ Co nale偶a艂o pokaza膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj