Planimetria, zadanie nr 1655
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
witam24 post贸w: 14 |  2012-03-31 12:22:0711. Wyka偶 , 偶e 艣rodki bok贸w dowolnego czworok膮ta s膮 wierzcho艂kami r贸wnoleg艂oboku. 12. Przek膮tna trapezu r贸wnoramiennego dzieli jego k膮t ostry na k膮ty o miarach $\alpha$ i $\beta$ ($\alpha$- k膮t mi臋dzy przek膮tn膮 i podstaw膮). Wyznacz stosunek p贸l tr贸jk膮t贸w , na jakie przek膮tna ta dzieli trapez. 13. Trapez R贸wnoramienny o podstawach d艂. a i b (a > b)opisany jest na kole . Oblicz pole tego ko艂a. 14.Dane s膮 4 okr臋gi . Ka偶dy z nich jest styczny zewn. do dok艂adnie dw贸ch spo艣r贸d trzech pozosta艂ych okr臋g贸w. Uzasadnij , 偶e 艣rodki tych okr臋g贸w s膮 wierzcho艂kami czworok膮ta , w kt贸ry mo偶na wpisa膰 okr膮g . 15.W okr膮g wpisano tr贸jk膮t ABC , w kt贸rym |$\angle$A| = 50 st. , |$\angle$B|= 70 st. Przez wierzcho艂ek k膮ta C poprowadzono styczn膮 do okr臋gu , przecinaj膮ca przed艂u偶enie boku AB w punkcie D . Oblicz miary k膮t贸w tr贸jk膮ta BCD. |
aididas post贸w: 279 | 2012-03-31 13:00:37 14.Warunkiem, aby w czworok膮t mo偶na by艂o wpisa膰 okr膮g, jest to, 偶e suma przeciwleg艂ych bok贸w jest r贸wna drugiej sumie przeciwleg艂ych bok贸w. Gdyby narysowa膰 rysunek to wida膰 偶e boki maj膮 d艂ugo艣膰: a=$r_{1}+r_{2}$ b=$r_{2}+r_{3}$ c=$r_{3}+r_{4}$ d=$r_{4}+r_{1}$ Suma jednej pary przeciwleg艂ych bok贸w wynosi: a+c=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$ Suma drugiej pary przeciwleg艂ych bok贸w wynosi: b+d=$r_{2}+r_{3}+r_{4}+r_{1}$ b+d=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$ a+c=b+d $r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$ W ten czworok膮t mo偶na wpisa膰 okr膮g, gdy偶 suma przeciwleg艂ych bok贸w jest r贸wna drugiej sumie przeciwleg艂ych bok贸w. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-03-31 13:00:54 przez aididas |
Szymon post贸w: 657 | 2012-03-31 13:49:49 13. c - rami臋 tego trapezu $c+c = a+b$ $2c = a+b /:2$ $c = \frac{a+b}{2}$ 2r = d - 艣rednica tego okr臋gu $d^2+(\frac{a-b}{2})^2 = c^2$ $(2r)^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{4} = (\frac{a+b}{2})^2$ $4r^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{4} = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$ $4r^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4} - \frac{a^2-2ab+b^2}{4}$ $4r^2 = \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{4}$ $4r^2 = \frac{4ab}{4} /:4$ $r^2 = \frac{ab}{4}$ $P_{ko艂a} = {\pi}r^2$ $P_{ko艂a} = \frac{ab}{4}\cdot\pi = \frac{{\pi}ab}{4}$ Odp.: Pole tego ko艂a to $\frac{{\pi}ab}{4}$. |
Szymon post贸w: 657 | 2012-03-31 13:52:49 11. ABCD - dowolny czwrok膮t EFGH - czworok膮t kt贸rego wierzcho艂ki s膮 艣rodkami bok贸w czworok膮ta ABCD i wyznaczaj膮 one r贸wnoleg艂obok. Je偶eli dorysujemy przek膮tn膮 DB , to na mocy twierdzenia Talesa jest ona r贸wnoleg艂a do odcink贸w GF i HE . Podobnie, odcinki EF i HG s膮 r贸wnoleg艂e do przek膮tnej AC . Czworok膮t EFGH jest wi臋c r贸wnoleg艂obokiem. |
aididas post贸w: 279 | 2012-03-31 13:58:20 13.Skoro trapez jest opisany na kole, to ko艂o jest wpisane w trapez. Wysoko艣膰 trapezu (h) stanowi podw贸jn膮 warto艣c promienia ko艂a (r): h=2r Bok a sk艂ada si臋 z boku b oraz dw贸ch odcink贸w $\frac{a-b}{2}$: a=b+$\frac{a-b}{2}$ Wiadomo, 偶e: a+c=b+d czyli: a+b=2c c=$\frac{a+b}{2}$ Z pitagorasa wyliczamy wysoko艣膰: $(\frac{a+b}{2})^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}=(2r)^{2}$ $\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}-\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=4r^{2}$ $a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})=16r^{2}$ $a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=16r^{2}$ $4ab=16r^{2}$ $r^{2}=\frac{ab}{4}$ $P_{k}=\pi r^{2}=\pi\frac{ab}{4}=\frac{ab\pi}{4}$ Odp.: Wz贸r na pole ko艂a to $\frac{ab\pi}{4}$ |
Szymon post贸w: 657 | 2012-03-31 14:04:46 15. Narysuj sobie do tego rysunek. Oznacz 艣rodek tego okr臋gu przez O. Je艣li k膮t CBA ma 70 stopni to k膮t CBD ma 180-70 = 110 stopni ( s膮 to k膮ty przyleg艂e). K膮t COB jako k膮t 艣rodkowy oparty na k膮cie wpisanym wynosi 2*50=100 stopni ( 2 * k膮t BAC). Tr贸jk膮t BOC jest r贸wnoramienny wi臋c k膮t OCB = k膮t OBC = $\frac{180-100}{2} = 40$ stopni. CD jest styczn膮 do okr臋gu w pkt. C, wi臋c k膮t OCD=90 stopni.K膮t OCD-K膮t OCB = 90-40 = 50 = k膮t BCD. Suma k膮t贸w w tr贸jk膮cie to 180 stopni , wi臋c k膮t CDB = 20 stopni. Odp.: K膮ty te to 110,50,20 |
agus post贸w: 2387 | 2012-03-31 16:49:10 12. a- d艂u偶sza podstawa trapezu (a=b+2x) b- kr贸tsza podstawa trapezu W trapezie r贸wnoramiennym, w kt贸rym poprowadzono przek膮tn膮 i zaznaczono k膮ty$\alpha i \beta$ poprowad藕my te偶 wysoko艣膰, kt贸ra podzieli d艂u偶sz膮 podstaw臋 na odcinki b+x i x. $\frac{x+b}{h}$=ctg$\alpha$ $\frac{x}{h}+\frac{b}{h}$=ctg$\alpha$ (1) $\frac{x}{h}$=ctg$(\alpha+\beta)$ (2) po podzieleniu (1) przez (2) otrzymujemy 1+$\frac{b}{x}$=$\frac{ctg\alpha}{ctg(\alpha+\beta)}$ $\frac{b}{x}$=$\frac{ctg\alpha}{ctg(\alpha+\beta)}$-1= =$\frac{ct\alpha-ctg(\alpha+\beta)}{ctg(\alpha+\beta)}$ $\frac{x}{b}$=$\frac{ctg(\alpha+\beta)}{ctg\alpha-ctg(\alpha+\beta)}$ (3) stosunek p贸l tr贸jk膮t贸w $\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bh}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{b+2x}{b}$=1+$\frac{2x}{b}$ podstawiaj膮c (3) otrzymujemy 1+$\frac{2ctg(\alpha+\beta)}{ctg\alpha-ctg(\alpha+\beta)}$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj