Planimetria, zadanie nr 1655

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
witam24 postów: 14	2012-03-31 12:22:07 11. Wykaż , że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. 12. Przekątna trapezu równoramiennego dzieli jego kąt ostry na kąty o miarach $\alpha$ i $\beta$ ($\alpha$- kąt między przekątną i podstawą). Wyznacz stosunek pól trójkątów , na jakie przekątna ta dzieli trapez. 13. Trapez Równoramienny o podstawach dł. a i b (a > b)opisany jest na kole . Oblicz pole tego koła. 14.Dane są 4 okręgi . Każdy z nich jest styczny zewn. do dokładnie dwóch spośród trzech pozostałych okręgów. Uzasadnij , że środki tych okręgów są wierzchołkami czworokąta , w który można wpisać okrąg . 15.W okrąg wpisano trójkąt ABC , w którym \|$\angle$A\| = 50 st. , \|$\angle$B\|= 70 st. Przez wierzchołek kąta C poprowadzono styczną do okręgu , przecinająca przedłużenie boku AB w punkcie D . Oblicz miary kątów trójkąta BCD.

aididas postów: 279	2012-03-31 13:00:37 14.Warunkiem, aby w czworokąt można było wpisać okrąg, jest to, że suma przeciwległych boków jest równa drugiej sumie przeciwległych boków. Gdyby narysować rysunek to widać że boki mają długość: a=$r_{1}+r_{2}$ b=$r_{2}+r_{3}$ c=$r_{3}+r_{4}$ d=$r_{4}+r_{1}$ Suma jednej pary przeciwległych boków wynosi: a+c=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$ Suma drugiej pary przeciwległych boków wynosi: b+d=$r_{2}+r_{3}+r_{4}+r_{1}$ b+d=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$ a+c=b+d $r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$=$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}$ W ten czworokąt można wpisać okrąg, gdyż suma przeciwległych boków jest równa drugiej sumie przeciwległych boków. Wiadomość była modyfikowana 2012-03-31 13:00:54 przez aididas

Szymon postów: 657	2012-03-31 13:49:49 13. c - ramię tego trapezu $c+c = a+b$ $2c = a+b /:2$ $c = \frac{a+b}{2}$ 2r = d - średnica tego okręgu $d^2+(\frac{a-b}{2})^2 = c^2$ $(2r)^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{4} = (\frac{a+b}{2})^2$ $4r^2+\frac{a^2-2ab+b^2}{4} = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$ $4r^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4} - \frac{a^2-2ab+b^2}{4}$ $4r^2 = \frac{a^2+2ab+b^2-(a^2-2ab+b^2)}{4}$ $4r^2 = \frac{4ab}{4} /:4$ $r^2 = \frac{ab}{4}$ $P_{koła} = {\pi}r^2$ $P_{koła} = \frac{ab}{4}\cdot\pi = \frac{{\pi}ab}{4}$ Odp.: Pole tego koła to $\frac{{\pi}ab}{4}$.

Szymon postów: 657	2012-03-31 13:52:49 11. ABCD - dowolny czwrokąt EFGH - czworokąt którego wierzchołki są środkami boków czworokąta ABCD i wyznaczają one równoległobok. Jeżeli dorysujemy przekątną DB , to na mocy twierdzenia Talesa jest ona równoległa do odcinków GF i HE . Podobnie, odcinki EF i HG są równoległe do przekątnej AC . Czworokąt EFGH jest więc równoległobokiem.

aididas postów: 279	2012-03-31 13:58:20 13.Skoro trapez jest opisany na kole, to koło jest wpisane w trapez. Wysokość trapezu (h) stanowi podwójną wartośc promienia koła (r): h=2r Bok a składa się z boku b oraz dwóch odcinków $\frac{a-b}{2}$: a=b+$\frac{a-b}{2}$ Wiadomo, że: a+c=b+d czyli: a+b=2c c=$\frac{a+b}{2}$ Z pitagorasa wyliczamy wysokość: $(\frac{a+b}{2})^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}=(2r)^{2}$ $\frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{4}-\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{4}=4r^{2}$ $a^{2}+2ab+b^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})=16r^{2}$ $a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}=16r^{2}$ $4ab=16r^{2}$ $r^{2}=\frac{ab}{4}$ $P_{k}=\pi r^{2}=\pi\frac{ab}{4}=\frac{ab\pi}{4}$ Odp.: Wzór na pole koła to $\frac{ab\pi}{4}$

Szymon postów: 657	2012-03-31 14:04:46 15. Narysuj sobie do tego rysunek. Oznacz środek tego okręgu przez O. Jeśli kąt CBA ma 70 stopni to kąt CBD ma 180-70 = 110 stopni ( są to kąty przyległe). Kąt COB jako kąt środkowy oparty na kącie wpisanym wynosi 250=100 stopni ( 2 kąt BAC). Trójkąt BOC jest równoramienny więc kąt OCB = kąt OBC = $\frac{180-100}{2} = 40$ stopni. CD jest styczną do okręgu w pkt. C, więc kąt OCD=90 stopni.Kąt OCD-Kąt OCB = 90-40 = 50 = kąt BCD. Suma kątów w trójkącie to 180 stopni , więc kąt CDB = 20 stopni. Odp.: Kąty te to 110,50,20

agus postów: 2387	2012-03-31 16:49:10 12. a- dłuższa podstawa trapezu (a=b+2x) b- krótsza podstawa trapezu W trapezie równoramiennym, w którym poprowadzono przekątną i zaznaczono kąty$\alpha i \beta$ poprowadźmy też wysokość, która podzieli dłuższą podstawę na odcinki b+x i x. $\frac{x+b}{h}$=ctg$\alpha$ $\frac{x}{h}+\frac{b}{h}$=ctg$\alpha$ (1) $\frac{x}{h}$=ctg$(\alpha+\beta)$ (2) po podzieleniu (1) przez (2) otrzymujemy 1+$\frac{b}{x}$=$\frac{ctg\alpha}{ctg(\alpha+\beta)}$ $\frac{b}{x}$=$\frac{ctg\alpha}{ctg(\alpha+\beta)}$-1= =$\frac{ct\alpha-ctg(\alpha+\beta)}{ctg(\alpha+\beta)}$ $\frac{x}{b}$=$\frac{ctg(\alpha+\beta)}{ctg\alpha-ctg(\alpha+\beta)}$ (3) stosunek pól trójkątów $\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bh}$=$\frac{a}{b}$=$\frac{b+2x}{b}$=1+$\frac{2x}{b}$ podstawiając (3) otrzymujemy 1+$\frac{2ctg(\alpha+\beta)}{ctg\alpha-ctg(\alpha+\beta)}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj