Geometria, zadanie nr 1817

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
3wcia13 postów: 12	2012-05-13 11:52:32 Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 4. Jakie powinny być długości tych krawędzi, aby objętość ostrosłupa była największa? Proszę o pomoc w rozwiązaniu

irena postów: 2636	2012-05-14 11:57:26 a- krawędź podstawy b- krawędź boczna H- wysokość 4a+4b=4 a+b=1 b=1-a 2b>a 2-2a>a 3a<2 $0<a<\frac{2}{3}$ $H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2$ $H^2=b^2-\frac{2a^2}{4}=\frac{4b^2-2a^2}{4}=\frac{4(1-2a+a^2)-2a^2}{4}=\frac{2a^2-8a+4}{4}$ $H=\frac{\sqrt{2a^2-8a+4}}{2}$ $V=\frac{1}{3}a^2H$ $V(a)=\frac{a^2\sqrt{2a^2-8a+4}}{6}$ $V'(a)=\frac{1}{6}\cdot[2a\sqrt{2a^2-8a+4}+a^2\cdot\frac{4a-8}{2\sqrt{2a^2-8a+4}}]=$ $=\frac{1}{3}\cdot\frac{a(2a^2-8a+4)+a^2(a-2}{\sqrt{2a^2-8a+4}}=$ $=\frac{1}{3}\cdot\frac{3a^3-10a^2+4a}{\sqrt{2a^2-8a+4}}$ $V'(a)=0$ $3a^3-10a^2+4a=0$ $a(3a^2-10a+4)=0$ $a_1=0$ $\Delta=100-48=52$ $a_2=\frac{10-2\sqrt{13}}{6}=\frac{5-\sqrt{13}}{3}<\frac{2}{3} \vee a_3=\frac{5+\sqrt{13}}{3}>\frac{2}{3}$ W przedziale $a\in(0;\ a_1>$ funkcja rośnie (pochodna jest dodatnia), w przedziale $a\in<a_1; \frac{2}{3})$ funkcja maleje (pochodna jest ujemna). Szukaną wielkością jest więc $a=\frac{5-\sqrt{13}}{3}$. Wtedy $b=1-\frac{5-\sqrt{13}}{3}=\frac{\sqrt{13}-2}{3}$ Odp: $\left\{\begin{matrix} a=\frac{5-\sqrt{13}}{3} \\ b=\frac{\sqrt{13}-2}{3} \end{matrix}\right.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj