Równania i nierówności, zadanie nr 1920
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
pm12 postów: 493 | 2012-07-13 17:44:17 Udowodnić, że: (a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b) $\le$ abc |
tumor postów: 8070 | 2012-09-10 22:32:56 Przyjmijmy na chwilę $a=0$ $b=0$ $c=-1$ Wtedy mamy $1\le 0$ Co trudno nazwać prawdą. Zatem w ogólności dowodu z pewnością nie będzie. Jakie wprowadzić założenia? 1) jeśli $a,b,c\ge 0$, i co najmniej jedna z liczb $a,b,c$ jest równa $0$, to problem się redukuje do o wiele prostszego ($a-b)(b-a)(a+b)\le 0$, równość dla $a=b$, jeśli zaś $a\neq b$ to lewa strona jest ujemna 2) jeśli $a,b,c> 0$ i jedna ze zmiennych jest sumą pozostałych, to po lewej jest $0$ 3) jeśli $a,b,c> 0$ i jedna ze zmiennych jest większa od sumy pozostałych, to liczba po lewej jest ujemna Przyjmijmy bowiem $a>b+c$ wtedy $b+c-a<0$ $a+b-c>0$ $a+c-b>0$ 4) dla $a=b=c$ strony są równe 5) jeśli $a,b,c> 0$ i któreś dwie zmienne są równe, na przykład b=c, dostajemy $a*a(2*b-a) \le ab^2$ $2ab-a^2 \le b^2$ co udowodnić łatwo, przenosząc wszystko na prawą stronę dostajemy wzór skróconego mnożenia 6) $0<a<b<c$ i $a,b,c$ tworzą trójkąt Wówczas $0<(a+b-c)(a+c-b)=a^2-(b-c)^2 \le a^2$ $0<(b+a-c)(b+c-a)=b^2-(a-c)^2 \le b^2$ $0<(c+b-a)(c+a-b)=c^2-(b-a)^2 \le c^2$ Co po wymnożeniu stronami i spierwiastkowaniu daje szukaną nierówność. :) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj