logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Równania i nierówności, zadanie nr 1920

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pm12
postów: 493
2012-07-13 17:44:17

Udowodnić, że:

(a+b-c)*(b+c-a)*(c+a-b) $\le$ abc


tumor
postów: 8070
2012-09-10 22:32:56

Przyjmijmy na chwilę
$a=0$
$b=0$
$c=-1$

Wtedy mamy
$1\le 0$

Co trudno nazwać prawdą. Zatem w ogólności dowodu z pewnością nie będzie. Jakie wprowadzić założenia?

1) jeśli $a,b,c\ge 0$, i co najmniej jedna z liczb $a,b,c$ jest równa $0$, to problem się redukuje do o wiele prostszego
($a-b)(b-a)(a+b)\le 0$, równość dla $a=b$, jeśli zaś $a\neq b$ to lewa strona jest ujemna

2) jeśli $a,b,c> 0$ i jedna ze zmiennych jest sumą pozostałych, to po lewej jest $0$

3) jeśli $a,b,c> 0$ i jedna ze zmiennych jest większa od sumy pozostałych, to liczba po lewej jest ujemna
Przyjmijmy bowiem $a>b+c$
wtedy $b+c-a<0$
$a+b-c>0$
$a+c-b>0$

4) dla $a=b=c$ strony są równe

5) jeśli $a,b,c> 0$ i któreś dwie zmienne są równe, na przykład b=c, dostajemy
$a*a(2*b-a) \le ab^2$
$2ab-a^2 \le b^2$
co udowodnić łatwo, przenosząc wszystko na prawą stronę dostajemy wzór skróconego mnożenia

6) $0<a<b<c$ i $a,b,c$ tworzą trójkąt
Wówczas
$0<(a+b-c)(a+c-b)=a^2-(b-c)^2 \le a^2$
$0<(b+a-c)(b+c-a)=b^2-(a-c)^2 \le b^2$
$0<(c+b-a)(c+a-b)=c^2-(b-a)^2 \le c^2$
Co po wymnożeniu stronami i spierwiastkowaniu daje szukaną nierówność. :)


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj