Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1968
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
sylwia94z postów: 134 | 2012-09-28 12:38:10 Udowodnij, że $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$. |
irena postów: 2636 | 2012-09-28 14:13:44 $(\sqrt{2}+1)^3=(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^3=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7$ $(\sqrt{2}-1)^3=(\sqrt{2})^3-3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\cdot\sqrt{2}\cdot1^2-1^3=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7$ $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3}=\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1=2$ |
sylwia94z postów: 134 | 2012-09-29 11:50:12 Nie da się tego inaczej rozwiązac? Gdyby np. ktoś nie zauważył, że: $(\sqrt{2}+1)^{3}=5\sqrt{2}+7$ |
irena postów: 2636 | 2012-09-30 11:50:20 Można. Podstaw $a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$ Podnieś a do sześcianu: $a^3=5\sqrt{2}+7-3\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7}+3\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}-7)}-5\sqrt{2}+7=$ $=14-3\sqrt[3]{(50-49)(5\sqrt{2}+7)}+3\sqrt[3]{(50-49)(5\sqrt{2}-7)}=14-3(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})$ I masz: $a^3=14-3a$ $a^3+3a-14=0$ $a^3-2a^2+2a^2-4a+7a-14=0$ $(a-2)(a^2+2a+7)=0$ $a=2\vee a^2+2a+7=0$ $\Delta=4-28<0$ Jedyne rozwiązanie to a=2, czyli: $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj