logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1968

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sylwia94z
postów: 134
2012-09-28 12:38:10

Udowodnij, że $\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$.


irena
postów: 2636
2012-09-28 14:13:44

$(\sqrt{2}+1)^3=(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\cdot\sqrt{2}\cdot1+1^3=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1=5\sqrt{2}+7$

$(\sqrt{2}-1)^3=(\sqrt{2})^3-3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\cdot\sqrt{2}\cdot1^2-1^3=2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1=5\sqrt{2}-7$

$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^3}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^3}=\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1=2$


sylwia94z
postów: 134
2012-09-29 11:50:12

Nie da się tego inaczej rozwiązac? Gdyby np. ktoś nie zauważył, że:
$(\sqrt{2}+1)^{3}=5\sqrt{2}+7$


irena
postów: 2636
2012-09-30 11:50:20

Można.
Podstaw
$a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$

Podnieś a do sześcianu:
$a^3=5\sqrt{2}+7-3\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7}+3\sqrt[3]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}-7)}-5\sqrt{2}+7=$
$=14-3\sqrt[3]{(50-49)(5\sqrt{2}+7)}+3\sqrt[3]{(50-49)(5\sqrt{2}-7)}=14-3(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7})$

I masz:
$a^3=14-3a$
$a^3+3a-14=0$
$a^3-2a^2+2a^2-4a+7a-14=0$
$(a-2)(a^2+2a+7)=0$
$a=2\vee a^2+2a+7=0$
$\Delta=4-28<0$

Jedyne rozwiązanie to a=2, czyli:
$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}=2$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj