Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1975
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
Szymon post贸w: 657 |  2012-10-02 16:34:011.Liczba naturalna n jest co najmniej trzycyfrowa. Je偶eli pomi臋dzy cyfr臋 setek a cyfr臋 dziesi膮tek tej liczby wpiszemy znak mno偶enia, to po wykonaniu mno偶enia otrzymamy po艂ow臋 liczby n. Wyznacz wszystkie liczby n o tej w艂asno艣ci. 2.W balu wzi臋艂o udzia艂 102 kr贸lewicz贸w i 103 kr贸lewny. Po balu okaza艂o si臋, 偶e ka偶dy kr贸lewicz zata艅czy艂 z tak膮 sam膮 liczb膮 kr贸lewien. Udowodnij, 偶e pewne dwie kr贸lewny zata艅czy艂y z tak膮 sam膮 liczb膮 kr贸lewicz贸w. 3.W ostros艂up SABCD, kt贸rego podstaw膮 jest czworok膮t wypuk艂y ABCD, mo偶na wpisa膰 sfer臋. Udowodnij, 偶e $\angle{ASB} + \angle{CSD} = \angle{BSC} + \angle{DSA}$. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-02 18:14:23 Zadania z trwaj膮cej OM Rozwi膮zanie zostanie przywr贸cone po konkursie //-------------------------------------------- Zadanie 2. Za艂贸偶my, 偶e mo偶liwa by艂a sytuacja, 偶e ka偶da kr贸lewna zata艅czy艂a z inn膮 liczb膮 kr贸lewicz贸w. By to by艂o mo偶liwe, jedna nie ta艅czy艂a z 偶adnym, jedna ta艅czy艂a z jednym, jedna ta艅czy艂a z dwoma, jedna z trzema,..., jedna ze wszystkimi. Og贸艂em zatem kr贸lewny zata艅czy艂y $0+1+2+3+...+102$ razy (nie liczymy tu dublowania tej samej pary) Ilo艣膰 ta艅c贸w to $\frac{102*103}{2}$ Bez liczenia widzimy, 偶e ta ilo艣膰 nie daje si臋 podzieli膰 r贸wno na 102 kr贸lewicz贸w. Czyli b艂臋dne by艂o pocz膮tkowe za艂o偶enie, 偶e ka偶da kr贸lewna ta艅czy艂a z inn膮 liczb膮 kr贸lewicz贸w. Zadanie 1. Liczb臋 $n$ mo偶emy zapisa膰 jako $100a+b$, gdzie $a,b$ naturalne, $a>0$, $b<100$. Z tre艣ci wiemy, 偶e $a*b=\frac{n}{2}$ Czyli $100a+b=2ab$ $100a=b(2a-1)$ Zauwa偶my, 偶e $NWD(a, 2a-1)=1$ Zatem liczba nieparzysta $2a-1$ musi by膰 dzielnikiem $100$. Dla $2a-1=1$, mamy $a=1$, $b=100$, co nie spe艂nia naszych za艂o偶e艅. Dla $2a-1=5$ mamy $a=3$, $b=60$, co jest ok Dla $2a-1=25$ mamy $a=13$, $b=52$, co jest ok. Zatem otrzymujemy liczby $360$ i $1352$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-11-05 19:56:56 przez Mariusz 艢liwi艅ski |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj