Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1976
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
Szymon post贸w: 657 |  2012-10-02 16:35:28Wyznacz wszystkie dodatnie liczby ca艂kowite n, dla kt贸rych liczba $n^3-7n$ jest kwadratem liczby ca艂kowitej. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-02 20:30:49 zadanie z OM rozwi膮zanie zostanie przywr贸cone po konkursie. //----------------------------------------------- Niech $ord(n,p)=x$ oznacza, 偶e $p^x$ dzieli $n$, ale $p^{x+1}$ nie dzieli $n$, dla liczby naturalnej $n$, liczby pierwszej $p$. Zauwa偶my, 偶e dla liczby pierwszej $p$ i liczby naturalnej dodatniej $n$, liczby $ord(n^2-7,p)$, $ord(n,p)$ s膮 jednocze艣nie parzyste lub jednocze艣nie nieparzyste, by iloczyn $n(n^2-7)$ by艂 kwadratem. Je艣li $p$ pierwsze i $ord(n,p)$ nieparzyste, to $p$ dzieli $n$, $p$ dzieli $n^2$ i aby $ord(n^2-7,p)$ by艂o nieparzyste, p musi dzieli膰 $n^2-7$, czyli $p$ dzieli $7$, czyli $p=7$. W pozosta艂ych przypadkach $ord(n,p)$ dla pierwszego $p$ jest parzyste, zatem i $ord(n^2-7,p)$ jest parzyste. Oznacza to, 偶e albo $n$ i $n^2-7$ s膮 obie kwadratami, albo obie s膮 iloczynami kwadratu i liczby $7$. a) obie s膮 kwadratami. Oczywi艣cie $n^2$ jest te偶 kwadratem. Tylko $16$ i $9$ s膮 kwadratami r贸偶ni膮cymi si臋 o $7$. Czyli $n^2=16$, $n=4$, $n^2-7=9$. b) obie s膮 iloczynami kwadratu i liczby $7$. $n=7k^2$ $n^2-7=7s$ $s$ musi by膰 kwadratem Rozwa偶my r贸wnanie $n^2-7(1+s)=0$ $delta=4*7*(1+s)$ $s+1$ musi by膰 podzielne przez $7$, 偶eby da艂o si臋 policzy膰 pierwiastek z $delty$ i 偶eby r贸wnanie mia艂o w og贸le rozwi膮zanie ca艂kowite. $s$ musi by膰 kwadratem. Czy te warunki s膮 jednocze艣nie mo偶liwe? Ka偶da liczba naturalna daje si臋 zapisa膰 jako $7a+b$, gdzie $a,b$ naturalne, $b<7$. W贸wczas kwadrat tej liczby to $(7a+b)^2=7(7a^2+2ab)+b^2$ Czyli $b^2+1$ ma by膰 podzielne przez $7$, dla jakiego艣 $b=0,1,2,3,4,5,6$, co nie zachodzi. Ten wym臋czony spos贸b (nie chce mi si臋 my艣le膰 nad skracaniem) m贸wi, 偶e poza $n=4$ rozwi膮za艅 nie ma. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2012-11-05 19:54:19 przez Mariusz 艢liwi艅ski |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj