Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1990
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
knapiczek post贸w: 112 |  2012-10-07 23:19:42rozwi膮偶 nier贸wno艣ci stosuj膮c tabelk臋 hornera do wyznaczania wielomianu(sam膮 tabelk臋 ogarniam ale troszk臋 gorzej z dalsz膮 cz臋艣ci膮: x^{4}-3x^{3}+x-3\le0 x^{5}-4x^{3}+x^{2}-4\ge0 x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x-12>0 2 x^{4}-5x^{3}+5x-2<0 wiedz膮c, 偶e x=1 jest pierwiastkiem wielomianu |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-08 09:03:15 Popatrzmy na przyk艂ad $2x^{4}-5x^{3}+5x-2<0$ Sprawdzamy, czy $1$ jest pierwiastkiem (podstawiamy za x), wysz艂o $0$, jest rzeczywi艣cie pierwiastkiem. Teraz wykonujemy dzielenie wielomianu $2x^{4}-5x^{3}+5x-$2 przez dwumian $x-1$ (zawsze dzielimy przez $x-pierwiastek$). Chcesz tabelk膮 Hornera. Po lewej piszemy nasz znaleziony pierwiastek, u g贸ry wszystkie wsp贸艂czynniki wielomianu. $\begin{array}{c} && 2 && -5 && 0 && 5 && -2 \\ 1&& 2 && -3 &&-3 && 2 && 0 \\ \end{array}$ Liczb臋 $2$ spisujemy. Nast臋pne fragmenty wyniku otrzymujemy tak: liczb臋 $2$ mno偶ymy przez $1$ (przez nasz pierwiastek) i dodajemy liczb臋 $-5$, wychodzi $-3$. $-3$ mno偶ymy prez $1$ i dodajemy $0$. Wychodzi $-3$. $-3 $ mno偶ymy przez $1$ i dodajemy $5$, wychodzi $2$. $2$ mno偶ymy przez $1$ i dodajemy $-2$, wychodzi $0$. Otrzymali艣my wsp贸艂czynniki wielomianu, wykonali艣my dzielenie $\frac{2x^{4}-5x^{3}+5x-2}{x-1}=2x^3-3x^2-3x+2$ Wielomian trzeciego stopnia. Szukamy pierwiastk贸w. Mamy szcz臋艣cie, bo pierwiastkiem jest liczba $-1$. Czyli podzielimy nasz nowy wielomian przez $x+1$, a u偶yjemy tabelki Hornera. $\begin{array}{c} && 2 && -3 &&-3 && 2\\ -1&& 2 && -5 &&2 && 0\\ \end{array}$ Otrzymali艣my $2x^2-5x+2$. Z tym si臋 mo偶emy upora膰 delt膮, a jak si臋 uprzemy, to mo偶emy tabelk膮 Hornera. :P Teraz zauwa偶amy bez trudu, 偶e pierwiastkiem jest liczba $\frac{1}{2}$ (albo liczba $2$, jak komu wygodniej). $\begin{array}{c} && 2 && -5 &&2\\ \frac{1}{2}&& 2 && -4 &&0\\ \end{array}$ Ostateczny wynik naszego dzielenia to 2x-4=2(x-2) Co dalej? Nasz wyj艣ciowy wielomian w ramach kolejnych mno偶e艅 udaje si臋 nam przedstawi膰 w postaci czynnik贸w (dwumian贸w, przez kt贸re dzielili艣my i ilorazu na ko艅cu). $2x^{4}-5x^{3}+5x-2=2(x-1)(x+1)(x-\frac{1}{2})(x-2)$ Liczby odejmowane od $x$ to wszystkie pierwiastki wielomianu. W nier贸wno艣ci nast臋pnie rysuje si臋 wykres. Zawsze rysuje si臋 od strony prawej. Ja wielomian zapisa艂em tak, 偶eby przy $x$ nie sta艂y 偶adne wsp贸艂czynniki (a tylko jeden przed ca艂ym wielomianem). Je艣li wsp贸艂czynnik przed wielomianem jest dodatni, to rysujemy od prawej od g贸ry, a je艣li ujemny, to od prawej od do艂u. Rysujemy spokojn膮 fal臋, kt贸ra albo przebija o艣 w miejscu, gdzie mamy pierwiastek, albo si臋 w nim odbija (na przyk艂ad zwyk艂a parabola $y=x^2$ si臋 w $x=0$ odbija od osi, tak to wygl膮da). Je艣li pierwiastek jest nieparzystej krotno艣ci (jednokrotny, trzykrotny,...), to przechodzimy w nim na drug膮 stron臋 osi, a je艣li parzystej krotno艣ci (dwukrotny, czterokrotny,...) to mamy odbicie od osi i pozostajemy po tej samej stronie. Tu mamy wielomian z samymi jednokrotnymi pierwiastkami. Rysujemy od prawej od g贸ry, przechodzimy przez $2$ pod o艣, potem przez $1$ nad o艣, potem przez $\frac{1}{2} $ pod o艣, potem przez $-1$ nad o艣 i ju偶 nie zawr贸cimy, wielomian tworzy kszta艂t litery W. ;) Z tego wykresu odczytujemy rozwi膮zanie nier贸wno艣ci. $x\in (-1,\frac{1}{2})\cup(1,2)$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-08 09:16:23 $ x^{4}-3x^{3}+x-3\le0$ Ten przyk艂ad a偶 b艂aga o grupowanie, ale stoi nad nami widmo tego Hornera ca艂ego, upar艂 si臋, to tabelkujemy. $1$ nie jest pierwiastkiem. Jest pierwiastkiem liczba $-1$, czyli dzielimy przez $x+1$. $\begin{array}{c} && 1 && -3 && 0 && 1 && -3 \\ -1&& 1 && -4 &&4 && -3 && 0 \\ \end{array}$ Dostajemy $x^3-4x^2+4x-3$ Szukamy pierwiastk贸w. W pierwszej kolejno艣ci sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego (z plusem lub z minusem), a je艣li nic nam nie wyjdzie, to sprawdzamy wszystkie u艂amki, gdzie w liczniku jest dzielnik wyrazu wolnego, a w mianowniku dzielnik wsp贸艂czynnika przy najwy偶szej pot臋dze. Akurat tu wsp贸艂czynnik przy najwy偶szej pot臋dze jest $1$, czyli ograniczymy si臋 do sprawdzenia dzielnik贸w wyrazu wolnego. Szcz臋艣liwie znajdujemy pierwiastek, jest nim liczba $3$. $\begin{array}{c} && 1 && -4 &&4 && -3 \\ 3&& 1 && -1 &&1 && 0 \\ \end{array}$ Dostajemy $x^2-x+1$, co dalszych pierwiastk贸w nie ma, bo delta jest ujemna. Zatem nasz rozk艂ad wielomianu to $ x^{4}-3x^{3}+x-3=(x+1)(x-3)(x^2-x+1)$ Od prawej od g贸ry rysujemy wykres, przechodzimy przez $3$ na drug膮 stron臋, przechodzimy przez $-1$ nad o艣 i koniec, bo wi臋cej pierwiastk贸w nie ma. Taki wykres wystarcza nam do podania odpowiedzi $x\in [-1,3]$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-08 09:31:36 $ x^{5}-4x^{3}+x^{2}-4\ge0$ Sprawdzamy dzielniki liczby $4$. Liczba $-1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy $\begin{array}{c} && 1&& 0&& -4&& 1&& 0&& -4\\ -1 && 1&&-1&& -3&& 4&& -4&& 0\\ \end{array}$ $x^4-x^3-3x^2+4x-4$ Pierwiastkiem jest liczba $2$. $\begin{array}{c} && 1&&-1&& -3&& 4&& -4\\ 2&& 1&& 1&& -1&& 2&& 0\\ \end{array}$ $x^3+x^2-x+2$ Pierwiastkiem jest liczba -2 $\begin{array}{c} && 1&& 1&& -1&& 2\\ -2&& 1&&-1&& 1&& 0\\ \end{array}$ $x^2-x+1$, co nie ma pierwiastk贸w, bo delta ujemna. Zatem $ x^{5}-4x^{3}+x^{2}-4=(x+1)(x+2)(x-2)(x^2-x+1)$ Rysujemy od prawej od g贸ry, pierwiastki $2,-1,-2$ wszystkie jednokrotne. $x\in [-2,-1]\cup[2,\infty]$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-08 09:45:53 $ x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x-12>0$ Liczba $1$ jest pierwiastkiem $\begin{array}{c} && 1&& -2&& -7&& 20&& -12\\ 1&& 1&& -1&& -8&& 12&& 0\\ \end{array}$ $x^3-x^2-8x+12$ Liczba $2$ jest pierwiastkiem $\begin{array}{c} && 1&& -1&& -8&& 12\\ 2&& 1&& 1&& -6&& 0\\ \end{array}$ $x^2+x-6$ Liczba $2$ jest pierwiastkiem $\begin{array}{c} && 1&& 1&& -6\\ 2&& 1&& 3 && 0\\ \end{array}$ $x+3$ Ostatecznie rozk艂ad na czynniki $ x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x-12=(x-1)(x-2)(x-2)(x+3)$ Zauwa偶my, 偶e $2$ jest dwukrotnym pierwiastkiem. Rysujemy od prawej od g贸ry, w $2$ odbijamy pozostaj膮c nad osi膮, w $1$ przechodzimy pod o艣, w $-3$ wracamy nad o艣. $x\in(-\infty,-3)\cup(1,2)\cup(2,\infty)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj