Liczby rzeczywiste, zadanie nr 1990

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
knapiczek postów: 112	2012-10-07 23:19:42 rozwiąż nierówności stosując tabelkę hornera do wyznaczania wielomianu(samą tabelkę ogarniam ale troszkę gorzej z dalszą częścią: x^{4}-3x^{3}+x-3\le0 x^{5}-4x^{3}+x^{2}-4\ge0 x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x-12>0 2 x^{4}-5x^{3}+5x-2<0 wiedząc, że x=1 jest pierwiastkiem wielomianu

tumor postów: 8070	2012-10-08 09:03:15 Popatrzmy na przykład $2x^{4}-5x^{3}+5x-2<0$ Sprawdzamy, czy $1$ jest pierwiastkiem (podstawiamy za x), wyszło $0$, jest rzeczywiście pierwiastkiem. Teraz wykonujemy dzielenie wielomianu $2x^{4}-5x^{3}+5x-$2 przez dwumian $x-1$ (zawsze dzielimy przez $x-pierwiastek$). Chcesz tabelką Hornera. Po lewej piszemy nasz znaleziony pierwiastek, u góry wszystkie współczynniki wielomianu. $\begin{array}{c} && 2 && -5 && 0 && 5 && -2 \\ 1&& 2 && -3 &&-3 && 2 && 0 \\ \end{array}$ Liczbę $2$ spisujemy. Następne fragmenty wyniku otrzymujemy tak: liczbę $2$ mnożymy przez $1$ (przez nasz pierwiastek) i dodajemy liczbę $-5$, wychodzi $-3$. $-3$ mnożymy prez $1$ i dodajemy $0$. Wychodzi $-3$. $-3 $ mnożymy przez $1$ i dodajemy $5$, wychodzi $2$. $2$ mnożymy przez $1$ i dodajemy $-2$, wychodzi $0$. Otrzymaliśmy współczynniki wielomianu, wykonaliśmy dzielenie $\frac{2x^{4}-5x^{3}+5x-2}{x-1}=2x^3-3x^2-3x+2$ Wielomian trzeciego stopnia. Szukamy pierwiastków. Mamy szczęście, bo pierwiastkiem jest liczba $-1$. Czyli podzielimy nasz nowy wielomian przez $x+1$, a użyjemy tabelki Hornera. $\begin{array}{c} && 2 && -3 &&-3 && 2\\ -1&& 2 && -5 &&2 && 0\\ \end{array}$ Otrzymaliśmy $2x^2-5x+2$. Z tym się możemy uporać deltą, a jak się uprzemy, to możemy tabelką Hornera. :P Teraz zauważamy bez trudu, że pierwiastkiem jest liczba $\frac{1}{2}$ (albo liczba $2$, jak komu wygodniej). $\begin{array}{c} && 2 && -5 &&2\\ \frac{1}{2}&& 2 && -4 &&0\\ \end{array}$ Ostateczny wynik naszego dzielenia to 2x-4=2(x-2) Co dalej? Nasz wyjściowy wielomian w ramach kolejnych mnożeń udaje się nam przedstawić w postaci czynników (dwumianów, przez które dzieliliśmy i ilorazu na końcu). $2x^{4}-5x^{3}+5x-2=2(x-1)(x+1)(x-\frac{1}{2})(x-2)$ Liczby odejmowane od $x$ to wszystkie pierwiastki wielomianu. W nierówności następnie rysuje się wykres. Zawsze rysuje się od strony prawej. Ja wielomian zapisałem tak, żeby przy $x$ nie stały żadne współczynniki (a tylko jeden przed całym wielomianem). Jeśli współczynnik przed wielomianem jest dodatni, to rysujemy od prawej od góry, a jeśli ujemny, to od prawej od dołu. Rysujemy spokojną falę, która albo przebija oś w miejscu, gdzie mamy pierwiastek, albo się w nim odbija (na przykład zwykła parabola $y=x^2$ się w $x=0$ odbija od osi, tak to wygląda). Jeśli pierwiastek jest nieparzystej krotności (jednokrotny, trzykrotny,...), to przechodzimy w nim na drugą stronę osi, a jeśli parzystej krotności (dwukrotny, czterokrotny,...) to mamy odbicie od osi i pozostajemy po tej samej stronie. Tu mamy wielomian z samymi jednokrotnymi pierwiastkami. Rysujemy od prawej od góry, przechodzimy przez $2$ pod oś, potem przez $1$ nad oś, potem przez $\frac{1}{2} $ pod oś, potem przez $-1$ nad oś i już nie zawrócimy, wielomian tworzy kształt litery W. ;) Z tego wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności. $x\in (-1,\frac{1}{2})\cup(1,2)$

tumor postów: 8070	2012-10-08 09:16:23 $ x^{4}-3x^{3}+x-3\le0$ Ten przykład aż błaga o grupowanie, ale stoi nad nami widmo tego Hornera całego, uparł się, to tabelkujemy. $1$ nie jest pierwiastkiem. Jest pierwiastkiem liczba $-1$, czyli dzielimy przez $x+1$. $\begin{array}{c} && 1 && -3 && 0 && 1 && -3 \\ -1&& 1 && -4 &&4 && -3 && 0 \\ \end{array}$ Dostajemy $x^3-4x^2+4x-3$ Szukamy pierwiastków. W pierwszej kolejności sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego (z plusem lub z minusem), a jeśli nic nam nie wyjdzie, to sprawdzamy wszystkie ułamki, gdzie w liczniku jest dzielnik wyrazu wolnego, a w mianowniku dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze. Akurat tu współczynnik przy najwyższej potędze jest $1$, czyli ograniczymy się do sprawdzenia dzielników wyrazu wolnego. Szczęśliwie znajdujemy pierwiastek, jest nim liczba $3$. $\begin{array}{c} && 1 && -4 &&4 && -3 \\ 3&& 1 && -1 &&1 && 0 \\ \end{array}$ Dostajemy $x^2-x+1$, co dalszych pierwiastków nie ma, bo delta jest ujemna. Zatem nasz rozkład wielomianu to $ x^{4}-3x^{3}+x-3=(x+1)(x-3)(x^2-x+1)$ Od prawej od góry rysujemy wykres, przechodzimy przez $3$ na drugą stronę, przechodzimy przez $-1$ nad oś i koniec, bo więcej pierwiastków nie ma. Taki wykres wystarcza nam do podania odpowiedzi $x\in [-1,3]$

tumor postów: 8070	2012-10-08 09:31:36 $ x^{5}-4x^{3}+x^{2}-4\ge0$ Sprawdzamy dzielniki liczby $4$. Liczba $-1$ jest pierwiastkiem. Dzielimy $\begin{array}{c} && 1&& 0&& -4&& 1&& 0&& -4\\ -1 && 1&&-1&& -3&& 4&& -4&& 0\\ \end{array}$ $x^4-x^3-3x^2+4x-4$ Pierwiastkiem jest liczba $2$. $\begin{array}{c} && 1&&-1&& -3&& 4&& -4\\ 2&& 1&& 1&& -1&& 2&& 0\\ \end{array}$ $x^3+x^2-x+2$ Pierwiastkiem jest liczba -2 $\begin{array}{c} && 1&& 1&& -1&& 2\\ -2&& 1&&-1&& 1&& 0\\ \end{array}$ $x^2-x+1$, co nie ma pierwiastków, bo delta ujemna. Zatem $ x^{5}-4x^{3}+x^{2}-4=(x+1)(x+2)(x-2)(x^2-x+1)$ Rysujemy od prawej od góry, pierwiastki $2,-1,-2$ wszystkie jednokrotne. $x\in [-2,-1]\cup[2,\infty]$

tumor postów: 8070	2012-10-08 09:45:53 $ x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x-12>0$ Liczba $1$ jest pierwiastkiem $\begin{array}{c} && 1&& -2&& -7&& 20&& -12\\ 1&& 1&& -1&& -8&& 12&& 0\\ \end{array}$ $x^3-x^2-8x+12$ Liczba $2$ jest pierwiastkiem $\begin{array}{c} && 1&& -1&& -8&& 12\\ 2&& 1&& 1&& -6&& 0\\ \end{array}$ $x^2+x-6$ Liczba $2$ jest pierwiastkiem $\begin{array}{c} && 1&& 1&& -6\\ 2&& 1&& 3 && 0\\ \end{array}$ $x+3$ Ostatecznie rozkład na czynniki $ x^{4}-2x^{3}-7x^{2}+20x-12=(x-1)(x-2)(x-2)(x+3)$ Zauważmy, że $2$ jest dwukrotnym pierwiastkiem. Rysujemy od prawej od góry, w $2$ odbijamy pozostając nad osią, w $1$ przechodzimy pod oś, w $-3$ wracamy nad oś. $x\in(-\infty,-3)\cup(1,2)\cup(2,\infty)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj