Liczby rzeczywiste, zadanie nr 2015
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
pacofaco post贸w: 11 |  2012-10-16 16:22:53Zbadaj r贸偶nowarto艣ciowo艣膰 funkcji: A. $f(x)= \frac{3x-2}{6x+3}$ B. $f(x)=\sqrt{|x|-3}$ Bardzo prosz臋 w miar臋 mo偶liwo艣ci o wyja艣nienie kolejnych krok贸w zadania. |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 17:25:43 a) $ \frac{3x-2}{6x+3}=\frac{3x+1,5-3,5}{6x+3}=\frac{1}{2}-\frac{3,5}{6x+3}$ Oczywi艣cie je艣li $x_1 \neq x_2$, to ${6x_1+3} \neq {6x_2+3}$ $\frac{3,5}{6x_1+3} \neq \frac{3,5}{6x_2+3}$ $\frac{1}{2}-\frac{3,5}{6x_1+3}\neq \frac{1}{2}-\frac{3,5}{6x_2+3}$ $f(x_1) \neq f(x_2)$ Czyli jest r贸偶nowarto艣ciowa. (Zreszt膮 funkcje homograficzne maj膮 to cz臋sto :P) |
pacofaco post贸w: 11 | 2012-10-16 17:30:02 nie rozumiem |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 17:34:25 Ja rozumiem. Mog臋 zadanie rozwi膮za膰 albo odpowiedzie膰 na konkretne, rozs膮dnie zadane pytania. W艂adzy zsy艂ania objawie艅 nie mam, p贸ki nie jestem bogiem. b) Wiemy chyba, 偶e $|x|=|-x|$ Zatem $\sqrt{|x|-3}=\sqrt{|-x|-3}$ czyli $f(x)=f(-x)$ Jest to funkcja parzysta, nie jest r贸偶nowarto艣ciowa w swojej naturalnej dziedzinie. Trzeba by poci膮膰 dziecin臋, je艣li by艣my chcieli z tego zrobi膰 funkcj臋 r贸偶nowarto艣ciow膮. Tu tak偶e mo偶na uog贸lni膰, je艣li $g(x)$ nie jest r贸偶nowarto艣ciowa, a $h(x)$ jest jakakolwiek, to $h\circ g(x)=h(g(x))$ nie jest r贸偶nowarto艣ciowa (oczywi艣cie gdy zachodz膮 wszystkie potrzebne warunki dla sensownego sk艂adania). W szczeg贸lno艣ci je艣li $g(x)$ jest parzysta, to z艂o偶enie takie jest funkcj膮 parzyst膮. |
pacofaco post贸w: 11 | 2012-10-16 18:55:48 Czy moje rozumowanie jest poprawne: Funkcja jest r贸偶nowarto艣ciowa wtedy, gdy argumenty a i b s膮 sobie r贸wne oraz warto艣ci im odpowiadaj膮ce r贸wnie偶 s膮 to偶same. Czyli funkcja jest r贸偶nowarto艣ciowa wtedy gdy, nie zachodzi r贸wno艣膰 argument贸w a i b oraz tym samym nie zachodzi r贸wno艣膰 warto艣ci odpowiadaj膮cych danym argumentom. Funkcja nie jest r贸偶nowarto艣ciowa, czyli jest r贸wnowarto艣ciowa, je偶eli argumenty a i b nie s膮 sobie r贸wne, ale warto艣ci im odpowiadaj膮ce s膮 to偶same. Odnosz膮c si臋 do powy偶szego zadania: $f(x)= \frac{3x-2}{6x+3}$ Krok pierwszy - bierzemy dwie dowolne liczby a i b nale偶膮ce do dziedziny danej funkcji. Krok drugi - zak艂adamy, 偶e warto艣ci jakie przyjmuje dana funkcja dla tych argument贸w (a i b) s膮 sobie r贸wne, czyli $f(a) = f(b)$ Krok trzeci - podstawiamy nasze argumenty a i b pod wz贸r funkcji, kt贸ra nas interesuje $\frac{3a-2}{6a+3} = \frac{3b-2}{6b+3}$ Przekszta艂camy: $12ab + 9a - 12b -6 = 12ab -12a + 9b -6$ $21a = 21b$ $a=b$ Skoro przy za艂o偶eniu, 偶e warto艣ci funkcji f(a) oraz f(b) s膮 sobie r贸wne, argumenty im odpowiadaj膮ce r贸wnie偶 s膮 sobie r贸wne -> a=b to mo偶emy stwierdzi膰, 偶e zosta艂y spe艂nione warunki w jakich zachodzi r贸偶nowarto艣膰 funkcji tj. $f(a) = f(b) \Rightarrow a=b $ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-16 20:05:00 Funkcja jest r贸偶nowarto艣ciowa, je艣li r贸偶nym argumentom przyporz膮dkowuje r贸偶ne warto艣ci. CZYLI je艣li z $a\neq b$ wynika $f(a)\neq f(b)$ CZYLI je艣li z $f(a)=f(b)$ wynika $a=b$ W przypadkach powy偶ej mamy implikacje tylko w jedn膮 stron臋. Je艣li bowiem argumenty s膮 r贸wne, to warto艣ci te偶 b臋d膮 r贸wne, a je艣li warto艣ci s膮 r贸偶ne, to argumenty musia艂y by膰 r贸偶ne. To oczywisto艣ci nic nie wnosz膮ce do naszych twierdze艅. :) Rozumowanie jakie przedstawiasz dla przyk艂adu jest dobre. Je艣li z r贸wno艣ci warto艣ci funkcji wynika r贸wno艣膰 argument贸w, jak膮 pokazujesz, mamy funkcj臋 r贸偶nowarto艣ciow膮. Ja w moim rozwi膮zaniu wy偶ej u偶y艂em sformu艂owania r贸wnowa偶nego. Skoro $a\neq b$, to $6a\neq 6b$ i tak dalej, a偶 do $f(a)\neq f(b)$. |
pacofaco post贸w: 11 | 2012-10-16 23:36:43 a jak to b臋dzie wygl膮da艂o w takim przypadku: O. $f(x)= \frac{x^2}{x-3}$ P. $f(x)= \frac{2x-3}{x-4}$ |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-17 17:59:36 Mo偶esz robi膰 tak, jak robi艂e艣. $\frac{a^2}{a-3}=\frac{b^2}{b-3}$ $a^2b-3a^2=ab^2-3b^2$ $a^2b-3a^2-ab^2+3b^2=0$ $ab(a-b)-3(a-b)(a+b)=0$ $(a-b)(ab-3(a+b))=0$ $(ab-3(a+b))=0$ $a(b-3)=3b$ $a=\frac{3b}{b-3}$ We藕my jakiekolwiek (mo偶liwe) $b$, na przyk艂ad $4$. Wtedy $a=12$. $f(4)=f(12)$, czyli r贸偶nowarto艣ciowa nie jest. I s艂owo wyja艣nienia. Gdyby $(ab-3(a+b))=0$ nie mia艂o rozwi膮za艅 (wiemy, 偶e ma, ale za艂贸偶my, 偶e jest inaczej), to 偶eby $(a-b)(ab-3(a+b))=0$ musia艂oby by膰 prawd膮 偶e $a-b=0$. Czyli $a=b$. To by znaczy艂o, 偶e jest r贸偶nowarto艣ciowa. A my w ramach kolejnych przekszta艂ce艅 doszli艣my do wniosku, 偶e mo偶e by膰 $(a-b)(ab-3(a+b))=0$ nawet je艣li $(a-b)\neq 0$, bo uda艂o nam si臋 znale藕膰 takie $a$ i $b$, 偶eby to drugi czynnik si臋 wyzerowa艂. ------- Wy偶ej mia艂e艣 spos贸b 艣cis艂y. Natomiast gdy robisz zadanie, dobrze si臋 zastanowi膰, co ma wyj艣膰 (bo czasem zrobi si臋 b艂膮d w liczeniu, lepiej si臋 pilnowa膰). Gdy $x$ jest nieco tylko wi臋kszy od $3$, to $f(x)$ jest ogromne (licznik jest bliski $9$, a mianownik jest bliski $0$). Gdy $x=4$, to $f(x)=16$. Id膮c dalej $f(6)=12$, $f(100)>100$. Korzystamy tu z ci膮g艂o艣ci, kt贸ra na wykresie odpowiada mo偶liwo艣ci narysowania wykresu bez odrywania o艂贸wka od papieru. w $x=3$ funkcja si臋 przerywa, ale byli艣my ca艂y czas na prawo od $3$, gdzie jest ci膮g艂a. Najpierw ma warto艣ci du偶e, potem malej膮 do $12$ (a mo偶e i bardziej, nieistotne), potem pr臋dzej czy p贸藕niej warto艣ci zn贸w rosn膮 i staj膮 si臋 du偶e. Je艣li funkcja ci膮g艂a maleje i ro艣nie, albo ro艣nie i maleje, to ju偶 nie mo偶e by膰 r贸偶nowarto艣ciowa. :) |
tumor post贸w: 8070 | 2012-10-17 18:04:45 $ \frac{2a-3}{a-4}=\frac{2b-3}{b-4}$ $(2a-3)(b-4)=(2b-3)(a-4)$ $-8a-3b=-8b-3a$ $5b=5a$ $b=a$ Tu du偶o szybciej doszli艣my, 偶e jest r贸偶nowarto艣ciowa. Przy tym funkcje $\frac{a_1x+b_1}{a_2x+b_2}$ nazywamy homograficznymi. Je艣li $a_1b_2-a_2b_1\neq 0$, to taka funkcja na pewno jest r贸偶nowarto艣ciowa. Najlepiej pokaza膰 dow贸d tego twierdzenia raz, a potem mie膰 z g艂owy wszystkie takie funkcje :P. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj