Inne, zadanie nr 2226

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2012-12-01 10:23:14 Wykazać, że dla n - całkowitego nieujemnego - zachodzi, że $\frac{n^{5}}{5}$ + $\frac{n^{3}}{3}$ + $\frac{7n}{15}$ jest całkowite nieujemne

tumor postów: 8070	2012-12-01 11:15:18 Oczywiście dla $n$ nieujemnego liczba ta jest nieujemna. Chcemy, aby $\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}$ była całkowita, czyli $x=3n^5+5n^3+7n$ ma być podzielna przez $15$, czyli podzielna przez $3$ i przez $5$. Czyli liczba $2n^3+n$ ma być podzielna przez $3$ (bo $3n^5+3n^3+6n$ jest podzielna przez $3$), a liczba $3n^5+2n$ ma być podzielna przez $5$. Zauważmy, że $n$ ma taką samą resztę z dzielenia przez $3$ jak $n^3$. Zatem $2n^3+n$ ma resztę z dzielenia przez $3$ podzielną przez $3$, czyli równą $0$. Podobnie liczby $n$ i $n^5$ mają identyczne reszty z dzielenia przez 5, zatem reszta z dzielenia $3n^5+2n$ przez $5$ równa jest $0$. Zatem $15\|x$, co należało pokazać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj