Funkcje, zadanie nr 2259
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
knapiczek post贸w: 112 |  2012-12-10 16:20:48zbada膰 r贸偶nowarto艣ciowo艣膰 funkcji w podanych przedzia艂ach: 1.f(x)=2x-1 x\inR f(x)=x^{4} x\inR f(x)=x^{4} x\in<-\infty,0> |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-10 16:54:51 1. $f(x)=2x-1$ dla $x\in R$ $x_1\neq x_2 \Rightarrow 2x_1 \neq 2x_2 \Rightarrow 2x_1-1 \neq 2x_2-1 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ r贸偶nowarto艣ciowa |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-10 16:55:42 2. $f(x)=x^{4}$ dla $x\in R$ $1^4=(-1)^4$ nie jest r贸偶nowarto艣ciowa |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-10 16:59:30 3. $f(x)=x^{4}$ dla $x\in<-\infty,0>$ $x_1>x_2 \Rightarrow x_1=x_2+\epsilon$ $\epsilon>0$ $f(x_1)-f(x_2)=(x_2+\epsilon)^4 - x_2^4=4x_2^3\epsilon+6x_2^2\epsilon^2+4x_2\epsilon^3+\epsilon^4>0$ rosn膮ca, zatem r贸偶nowarto艣ciowa |
knapiczek post贸w: 112 | 2012-12-10 22:37:16 m贸g艂by艣 mi dok艂adniej wyja艣ni膰 dlaczego w przyk艂adzie 2 nie jest r贸偶nowarto艣ciowa? |
tumor post贸w: 8070 | 2012-12-10 22:52:06 Funkcja r贸偶nowarto艣ciowa to taka, kt贸ra r贸偶nym argumentom przyporz膮dkowuje r贸偶ne warto艣ci. Czyli $x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$ R贸wnowa偶nie mo偶na to sformu艂owa膰 tak $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1= x_2$ Zatem 偶eby pokaza膰 r贸偶nowarto艣ciowo艣膰 trzeba dzia艂a膰 na zmiennych $x_1$, $x_2$. Natomiast by pokaza膰, 偶e funkcja r贸偶nowarto艣ciowa nie jest, wystarczy pokaza膰 jeden kontrprzyk艂ad. Czyli r贸偶ne $x_1, x_2$ dla kt贸rych jednak $f(x_1)=f(x_2)$. I w艂a艣nie $x_1=1, x_2=-1$, oczywi艣cie to r贸偶ne liczby, ale $f(x_1)=1=f(x_2)$. Czyli nie jest spe艂niony warunek r贸偶nowarto艣ciowo艣ci. W przypadku tej funkcji mo偶na by艂o wzi膮膰 dowoln膮 par臋 liczb przeciwnych. Na przyk艂ad $5$ i $-5$ lub $5712$ i $-5712$. Liczby przeciwne maj膮 wszak identyczn膮 czwart膮 pot臋g臋. ----------------- I jeszcze jedna rzecz mo偶e wymaga膰 wzmianki. W innych zadaniach u偶ywam monotoniczno艣ci by pokaza膰 r贸偶nowarto艣ciowo艣膰. Bo oczywi艣cie je艣li $x_1\neq x_2$, to jedna z tych liczb (jeste艣my w $R$) jest wi臋ksza, mo偶emy uzna膰, 偶e $x_1>x_2$. Je艣li funkcja jest monotoniczna, to dostaniemy $f(x_1)>f(x_2)$ lub $f(x_1)<f(x_2)$, ale ka偶dy z tych warunk贸w oznacza przecie偶, 偶e $f(x_1)\neq f(x_2)$. Innymi s艂owy funkcja (silnie) monotoniczna jest r贸偶nowarto艣ciowa. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj