Geometria, zadanie nr 2435

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
rra postów: 51	2013-01-17 10:53:07 1) Dany jest trójkąt równoramienny ABC o ramionach AC i BC i podstawie AB. Na prostej AB zaznaczono na zewnątrz trójkąta punkty E F, takie że AE=BF. Wykaż ,że trójkąt EFC jest równoramienny. 2) Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych AC, BC. Odcinek CD jest wysokością trójkąta, kąt $CAB=\alpha$, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Wyznacz miarę kąta DCO

tumor postów: 8070	2013-01-17 11:58:37 1) Skoro $AC=BC$, $AE=BF$ i $\angle CAE=\angle CBF$, to trójkąty $CAE$ i $CBF$ są podobne. Zatem zachodzi równość kątów $\angle CEA = \angle CFB$ A równość kątów przy jednym boku ($EF$) wystarcza, by trójkąt był równoramienny.

tumor postów: 8070	2013-01-17 12:11:43 2) Rysujemy to, co mówi zadanie. Środek okręgu opisanego przypada w połowie przeciwprostokątnej. Może się zdarzyć, że $C=O$, jeżeli trójkąt jest prostokątny równoramienny, wtedy kąt ma miarę $0$ stopni. Jeśli $\alpha>45^\circ$, to kąt rozwarty $COB$ ma miarę $2\alpha$ (jako kąt środkowy oparty na tym samym łuku), kąt ostry $DOC$ ma miarę $180^\circ-2\alpha$, a kąt $DCO$ ma miarę $2\alpha-90^\circ$ (bo suma kątów trójkąta $DOC$ wynosi $180$ stopni) Jeśli $\alpha<45^\circ$, to kąt ostry $COB$ ma miarę $2\alpha$, a kąt $DCO$ ma miarę $90^\circ-2\alpha$ --- Wszystkie przypadki dają odpowiedź $DCO=\|90^\circ-2\alpha\|$

naimad21 postów: 380	2013-01-17 12:19:06 2) Przede wszystkim zacznij sobie od dokładnego rysunku ;) Oznaczmy sobie kąt \|ABC\| jako kąt $\beta$, zatem cały ten trójkąt ma miare $180=\alpha+\beta+90$, kąt \|ACD\| ma miare $180-90-\alpha$, kąt \|CBA\| jak sobie oznaczyliśmy ma miare $\beta$, zatem kąt \|AOC\| ma miare $2\beta$, ponieważ jest to kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku, teraz z trójkąta ADO wynika, że szykany kąt \|DCO\| ma miare $180-90-2\beta$, za z równania na samym początku wyznaczamy kąt $\beta$ i podstawiamy go do tego równania i wychodzi, że kąt $\|DCO\|=90-2\beta=90-2(90-\alpha)=2\alpha-90$

tumor postów: 8070	2013-01-17 12:54:31 naimad21 - a ile to jest na przykład 215-90 albo 24-90 i czy jesteś pewien, że kąty o takiej mierze na pewno się w trójkątach prostokątnych zdarzają? :) A może skomentuję dokładniej. Jeśli sobie narysujemy punkt i dwie półproste, to narysowaliśmy dwa kąty. Jako że zadanie mówiło o trójkącie, pozwoliłem sobie wyznaczać miarę kąta DOC znajdującego się wewnątrz trójkąta, czyli miarę jednego z kątów ostrych trójkąta COD. Stąd wartość bezwzględna. W moim rozwiązaniu zaznaczam też (słowami "ostry", "rozwarty") po której stronie mam na myśli. Można jednakże patrzeć też na kąt jak na kąt skierowany, wtedy $DCO$ nie jest tym, co $OCD$. Wówczas $DCO=2\alpha-90^\circ$, ale dla $\alpha<45$ oznacza to "na zewnątrz" trójkąta, dookoła. :) Wiadomość była modyfikowana 2013-01-17 13:09:49 przez tumor

naimad21 postów: 380	2013-01-17 13:29:29 Już zrozumiałem ;), przy odpowiednich założeniach co do wielkości kąta alfa, punkt D, przesuwa się po boku trójkąta ABC, względem punktu O, raz jest przed nim i wtedy kąt \|CDB\| jest wewnątrz trójkąta DCO, raz jest za punktem O i wtedy kąt ten jest przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta, który zawiera szukany kąt ;)

rra postów: 51	2013-01-17 13:47:28 a czy można prosić o rysunek, bo właśnie z tym jest największy problem

naimad21 postów: 380	2013-01-17 14:17:15 Mam nadzieje, że sie doczytasz, na szybkiego robione ;) Pierwszy przypadek dla kąta alfa > 45, drugi dla kąta alfa< 45 ;) Wiadomość była modyfikowana 2013-01-17 14:19:05 przez naimad21

krzysku postów: 1	2013-06-12 19:35:44 Pilne! Z jakiej książki pochodzą te dwa zadania? Pozdrawiam

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj