Geometria, zadanie nr 2449
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| mieta postów: 1 |  2013-01-20 19:22:04hej :D proszę o pomoc Treść zadania:Przekatne trapezu rownoramiennego ABCD ,ktorego krotsza podstawa jest CD a pole wynosi P , przecinaja sie w punkcie S . Pole trojkata DSC wynosi 1/16P. Znajdz pola pozostalych 3 trojkatow , na które przekątne podzieliły trapez. Z góry dziękuję za odpowiedzi :D  |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-21 10:42:17 ABS jest podobny do DSC. Jeśli skala podobieństwa to k, to pole trójkąta ABS jest $k^2*\frac{1}{16}P$ $P_{ABC}=k*P_{BCD}$ (ponieważ to trójkąty o tej samej wysokości, ale o stosunku podstaw równym k) $P_{ABC}=P_{ABD}$ $P_{ACD}=P_{BCD}$. Oznaczmy może tak: $x=P_{ABS}$ $y=P_{BCS}=P_{DAS}$ $x=k^2*\frac{1}{16}P$ $k*(\frac{1}{16}P+y)=x+y$ $x+2y+\frac{1}{16}P=P$ Podstawiamy wszędzie $x$ $k*(\frac{1}{16}P+y)=k^2*\frac{1}{16}P+y$ $k^2*\frac{1}{16}P+2y+\frac{1}{16}P=P$ Wyliczamy $y=\frac{15}{32}P-\frac{k^2}{32}P$ Podstawiamy $k*(\frac{1}{16}P+\frac{15}{32}P-\frac{k^2}{32}P)=k^2*\frac{1}{16}P+\frac{15}{32}P-\frac{k^2}{32}P$ $ 17k-k^3=k^2+15$ co się przerzuca, grupuje, mieli jak typowy wielomian i wychodzi k=1 (odrzucamy) k=-5 (odrzucamy) k=3 nie odrzucamy, jest super. :) $x=\frac{9}{16}P$ $y=\frac{3}{16}P$ |
| tumor postów: 8070 | 2013-01-21 10:57:36 No, ale zastanowiły mnie te proporcje między wynikami i pomyślałem metodę o wiele prostszą niż wyżej. :) Oznaczmy trochę inaczej. $x=P_{CDS}$ $y=P_{ABS}$ $z=P_{BCS}=P_{DAS}$ (pola równe, bo ABC i ABD mają tę samą podstawę i tę samą wysokość) Zauważmy, że CDS i ABS podobne (mają te same kąty) w skali k. Wówczas $y=k^2x$ Trójkąty CDS i CDA mają tę samą podstawę. Wysokość CDS jest h, wtedy wysokość trapesu jest $h+kh=(k+1)h$, czyli $z=P_{CDA}-P_{CDS}=(k+1)x-x=kx$ $x=\frac{1}{16}P$ $y=k^2x=k^2\frac{1}{16}P$ $z=kx=k\frac{1}{16}P$ No i wiemy, że $x+y+2z=P$ $\frac{1+k^2+2k}{16}P=P$ $k^2+2k+1=16$ $k^2+2k-15=0$ $k_1=-5$ (odrzucamy) $k_2=3$ (akceptujemy) $y=\frac{9}{16}P$ $z=\frac{3}{16}P$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj