Liczby rzeczywiste, zadanie nr 2890
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
ewelina11 post贸w: 10 |  2013-04-28 16:25:561. wyznacz wszystkie liczby ca艂kowite n, dla kt贸rych $\frac{n^{5}+3}{n^{2}+1}$ jest calkowita. 2. a<b<c<d, uporz膮dkuj x=(a+b)(c+d) y=(a+c)(b+d) z=(a+d)(b+c) |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-29 09:19:34 1. Rozpisujemy $\frac{n^5+3}{n^2+1}=\frac{n^5+n^3-n^3-n^1+n^1+3}{n^2+1}=\frac{n^5+n^3}{n^2+1}-\frac{n^3+n}{n^2+1}+\frac{n+3}{n^2+1}=n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}$ Liczba $n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}$ jest ca艂kowita $\iff$ liczba $\frac{n+3}{n^2+1}$ jest ca艂kowita. Zauwa偶amy, 偶e dla $n>2$ licznik i mianownik s膮 dodatnie, a mianownik jest wi臋kszy. Czyli dla $n>2$ nie otrzymamy liczby ca艂kowitej. Zauwa偶amy, 偶e dla $n<-3$ licznik ujemny, mianownik dodatni, a mianownik jest wi臋kszy ni偶 warto艣膰 bezwzgl臋dna z licznika. Czyli dla $n<-3$ nie otrzymamy liczby ca艂kowitej. Pozostaje r臋cznie sprawdzi膰 $n=-3,-2,-1,0,1,2$ |
tumor post贸w: 8070 | 2013-04-29 09:33:28 2. Por贸wnajmy $x$ i $y$ Ja chwilowo oznacz臋 NIEZNANY znak nier贸wno艣ci przez $\circ$ i poka偶臋, jak zadanie robi膰. $x\circ y$ (bo nie wiemy, w kt贸r膮 stron臋 nier贸wno艣膰) $(a+b)(c+d)\circ(a+c)(b+d)$ $ac+ad+bc+bd\circ ab+ad+bc+cd$ $ac+bd\circ ab+cd$ $ac-cd \circ ab-bd$ $-c(d-a)\circ -b(d-a)$ (tak wy艂膮cza艂em, 偶eby nawias by艂 dodatni, bo d>a, przez to mo偶na przez niego podzieli膰 bez zmiany znaku) $-c\circ -b$ Gdy ju偶 doszli艣my do tego miejsca (na brudno, to teraz piszemy w艂a艣ciwe rozwi膮zanie) mamy $b<c$ czyli $-c<-b$ Obie strony mno偶ymy przez dodatnie wyra偶enie $(d-a)$ $-c(d-a)<-b(d-a)$ $ac-cd<ab-bd$ $ac+bd<ab+cd$ $ac+ad+bc+bd<ab+ad+bc+cd$ $(a+b)(c+d)<(a+c)(b+d)$ $x< y$ Zauwa偶, 偶e pisa艂em tu dok艂adnie to, co wcze艣niej, tylko w odwrotnej kolejno艣ci. W pierwszej cz臋艣ci chcia艂em si臋 DOWIEDZIE膯, jaki to znak. Dlatego rozd艂ubywa艂em przyk艂ad. Natomiast druga cz臋艣膰 jest poprawnym DOWODEM, 偶e ten znak to w艂a艣nie $<$. Startujemy od tego, co wiemy, natomiast wykonujemy te same operacje co wcze艣niej, tylko w odwrotnej kolejno艣ci. To zapewnia nam doj艣cie do $x$ i $y$, odpowiednio por贸wnanych. ;) Analogicznie robimy pozosta艂e przypadki. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj