Liczby rzeczywiste, zadanie nr 2890

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
ewelina11 postów: 10	2013-04-28 16:25:56 1. wyznacz wszystkie liczby całkowite n, dla których $\frac{n^{5}+3}{n^{2}+1}$ jest calkowita. 2. a<b<c<d, uporządkuj x=(a+b)(c+d) y=(a+c)(b+d) z=(a+d)(b+c)

tumor postów: 8070	2013-04-29 09:19:34 1. Rozpisujemy $\frac{n^5+3}{n^2+1}=\frac{n^5+n^3-n^3-n^1+n^1+3}{n^2+1}=\frac{n^5+n^3}{n^2+1}-\frac{n^3+n}{n^2+1}+\frac{n+3}{n^2+1}=n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}$ Liczba $n^3-n+\frac{n+3}{n^2+1}$ jest całkowita $\iff$ liczba $\frac{n+3}{n^2+1}$ jest całkowita. Zauważamy, że dla $n>2$ licznik i mianownik są dodatnie, a mianownik jest większy. Czyli dla $n>2$ nie otrzymamy liczby całkowitej. Zauważamy, że dla $n<-3$ licznik ujemny, mianownik dodatni, a mianownik jest większy niż wartość bezwzględna z licznika. Czyli dla $n<-3$ nie otrzymamy liczby całkowitej. Pozostaje ręcznie sprawdzić $n=-3,-2,-1,0,1,2$

tumor postów: 8070	2013-04-29 09:33:28 2. Porównajmy $x$ i $y$ Ja chwilowo oznaczę NIEZNANY znak nierówności przez $\circ$ i pokażę, jak zadanie robić. $x\circ y$ (bo nie wiemy, w którą stronę nierówność) $(a+b)(c+d)\circ(a+c)(b+d)$ $ac+ad+bc+bd\circ ab+ad+bc+cd$ $ac+bd\circ ab+cd$ $ac-cd \circ ab-bd$ $-c(d-a)\circ -b(d-a)$ (tak wyłączałem, żeby nawias był dodatni, bo d>a, przez to można przez niego podzielić bez zmiany znaku) $-c\circ -b$ Gdy już doszliśmy do tego miejsca (na brudno, to teraz piszemy właściwe rozwiązanie) mamy $b<c$ czyli $-c<-b$ Obie strony mnożymy przez dodatnie wyrażenie $(d-a)$ $-c(d-a)<-b(d-a)$ $ac-cd<ab-bd$ $ac+bd<ab+cd$ $ac+ad+bc+bd<ab+ad+bc+cd$ $(a+b)(c+d)<(a+c)(b+d)$ $x< y$ Zauważ, że pisałem tu dokładnie to, co wcześniej, tylko w odwrotnej kolejności. W pierwszej części chciałem się DOWIEDZIEĆ, jaki to znak. Dlatego rozdłubywałem przykład. Natomiast druga część jest poprawnym DOWODEM, że ten znak to właśnie $<$. Startujemy od tego, co wiemy, natomiast wykonujemy te same operacje co wcześniej, tylko w odwrotnej kolejności. To zapewnia nam dojście do $x$ i $y$, odpowiednio porównanych. ;) Analogicznie robimy pozostałe przypadki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj