Wyrażenia algebraiczne, zadanie nr 2905

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
naimad21 postów: 380	2013-05-09 11:44:47 Udowodnij, że jeśli $x+y+z=0$, to $xy+xz+zy\le 0$, można skorzystać ze wzoru $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2zy+2yx$

abcdefgh postów: 1255	2013-05-09 16:04:33 $ (x+y+z)^2\ge0$ $ (x+y+z)* (x+y+z)-2xy-2zy-2yxc$ $(x+y+z)* (x+y+z) \ge 2xy+2zy+2yx$ $0*0 \ge xy+zy+yx$

naimad21 postów: 380	2013-05-09 16:16:57 Ja to zrobiłem troszkę inaczej: $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2zy+2xz$ $0=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2zy+2xz$ $-xy-zy-xz=x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+zy+xz$ (-1) $xy+zy+xz=-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+zy+xz)$ zakładamy, że $xy+zy+xz\le 0$ wynika z tego, że $-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+zy+xz)\le 0$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+zy+xz \ge 0$ 2 $2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+2xy+2zy+2xz \ge 0$ $x^{2}+2xy+y^{2}+x^{2}+2xz+z^{2}+y^{2}+2yz+z^{2} \ge 0$ $(x+y)^{2}+(x+z)^{2}+(y+z)^{2} \ge 0$ c.n.d. Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, wiec wyjściowa też musiała być spełniona. Dobrze jest?

tumor postów: 8070	2013-05-09 16:25:01 Ale czemu tyle pisania? Mamy $0=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ zatem $xy+yz+xz=-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\le 0$

naimad21 postów: 380	2013-05-09 16:40:55 haha, ale chociaż opłaciło się pisanie i też jest dobrze ? ;d

tumor postów: 8070	2013-05-09 19:18:38 Nie, dopiero teraz chciało mi się przez to przebrnąć, nie jest dobrze. NIE MOŻNA zakładać tego, co chce się udowodnić. Są zasadniczo dwie metody dowodzenia. Pierwsze to metoda wprost, założyć należy to, co jest pewne, a dojść do tego, czego szukamy, wykonując pewne kroki. Druga metoda budzi pewne teoretyczne kontrowersje, ale tymi się zajmować na razie nie musisz. Polega na tym, by założyć, że teza dowodzona jest NIEPRAWDZIWA i wywnioskować z tego sprzeczność. Dowód pierwszego rodzaju dałem. Dowód drugiego rodzaju wyglądałby tak: załóżmy, że $xy+xz+yz>0$, oczywiście także $x^2+y^2+z^2\ge 0$, zatem $x^2+y^2+z^2+2(xy+xz+yz)>0$, czyli $x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\neq 0$, i zarazem $x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz= (x+y+z)^2$ oraz $(x+y+z)^2=0$ Co jest sprzeczne. Świadczy zatem o błędności założenia, że $xy+xz+yz>0$. Natomiast nie ma sensu założenie, że dowodzona teza jest prawdziwa. Owszem, wywnioskowałeś z tego pewną prawdę matematyczną, jednakże zdania fałszywe też mogą dawać prawdziwe konsekwencje. Można na przykład założyć, że $a^b=b^a$ i wywnioskować PRAWDĘ, że $2^4=4^2$, a to prawdziwości wzoru nie dowodzi. :) W praktyce robi się jednak taką rzecz: równanie, które chcemy udowodnić przekształcamy, mielimy, aż dojdziemy do prawdy bezapelacyjnej. Dowodem jest jednak to rozumowanie przeprowadzone WSTECZ, czyli od pewników do tezy. Kolejność kroków można odwrócić wtedy, gdy się za każdym razem przechodzi na równanie równoważne. W przypadku Twojego rozwiązania można iść od ostatniej linii przez kilka kroków. W tym kierunku będą poprawne. Nie można jednak będzie na tej trasie założyć dowodzonej tezy. Skądinąd dowód przez założenie tezy jest częstą praktyką różnej maści ideologów. Na przykład homoseksualizm jest zły. Czemu? Bo homoseksualiści następnie przerabiają dzieci na kolejnych homoseksualistów (mniejsza o sensowność tego punktu). I czemu to złe? Bo homoseksualizm jest zły. Założenie tezy to inaczej ukryte błędne koło. Udaje się, że się udowodniło coś, co w rzeczywistości uprzednio uznało się już za pewne. Błędne koło jest dowodzeniem nieznanego przez nieznane (w obie strony), założenie tezy jest tym samym, z domieszką kłamstwa. :)

naimad21 postów: 380	2013-05-09 19:55:29 tak myślałem, dlatego się spytałem ;) czyli w tej sytuacji musiałbym napisać odwrotnie, wszystko od końca i wtedy powinno się zgadzać ;)

tumor postów: 8070	2013-05-09 20:09:38 Wciąż jest tam ten okropny fragment "załóżmy, że mam rację" :P Możesz wyjść od $xy+xz+yz\le 0$ i przekształcać aż do zdania prawdziwego, a potem zapisać wszystko w przeciwnej kolejności. Wtedy będzie to dowód, o ile każde przejście pojedyncze było równoważnością. Pytałeś niedawno o podnoszenie stron do kwadratu. Jeśli mamy $x>0$ to możemy wnioskować $x^2>0$ ale ABSOLUTNIE nie możemy odwrócić tu wnioskowania. Te dwie nierówności nie są równoważne, druga z pierwszej wynika, ale nie odwrotnie. Natomiast gdy się wszędzie zamienia równanie/nierówność na równoważne, tam odwrócenie kierunku nie zaburza poprawności.

naimad21 postów: 380	2013-05-09 20:33:54 ok, ale bez tego "zakładamy, że" i "wynika z tego" w odwróconej kolejności pasuje? bo na maturze, nie napisałem tego, wszystko zrobiłem tak jak napisałem, tylko bez tych słów i dałem strzałeczki do góry, bo byłem pewny, że tak niemożna. Najwyżej nie będzie 100%, jakoś przeżyje ;/ Ale tak prostej maturki to jeszcze nigdy nie było, może jutro na rozszerzeniu coś trudniejszego dadzą ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj