Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3386

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
akordeonik postów: 6	2013-11-11 16:37:38 Wykazać, że dla dowolnego x oraz a > 0 zachodzi nierówność $\frac{1}{a^x + a^{-x} - 1} \le 1$ Wiadomość była modyfikowana 2013-11-11 16:39:50 przez akordeonik

tumor postów: 8070	2013-11-11 16:49:35 Po pierwsze dla $a=1$ mamy $a+\frac{1}{a}=2$ Po drugie niech $a=1+b$, $b>0$ Wtedy $a+\frac{1}{a}=1+b+\frac{1}{1+b}=1+b+\frac{1+b}{1+b}-\frac{b}{1+b}=2+b-\frac{b}{1+b}$ Zauważmy, że $1+b$ jest liczbą większą niż $1$, czyli $\frac{b}{1+b}<b$ czyli $b-\frac{b}{1+b}>0$, czyli ostatecznie dla $a\ge 1$ mamy $a+\frac{1}{a}\ge 2$. Stąd $\frac{1}{a+\frac{1}{a}-1}\le \frac{1}{2-1}=1$ ---- w zadaniu nie ma znaczenia dowolny $x$, bo z liczb $a^x$ i $a^{-x}$ jedna jest na pewno większa lub równa $1$, druga natomiast jest odwrotnością pierwszej, stosuje się więc reguła, którą wyprowadziłem wyżej.

akordeonik postów: 6	2013-11-11 16:58:15 Dzięki:)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj