Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3519
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
konciaq post贸w: 145 |  2013-11-22 13:49:44Uzasadnij, 偶e liczba $\frac{1}{2 \cdot4}+\frac{1}{4 \cdot6}+\frac{1}{6\cdot8}+ ...+\frac{1}{98\cdot100}=\frac{49}{200}$ |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-22 19:37:10 $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + ... + \frac{1}{98 \cdot 100} = \frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50})$ A teraz sztuczka: $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ $\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \frac{1}{((a+2)(a+3)} + ... + \frac{1}{(b-1)b} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a-1} + \frac{1}{a-1} - \frac{1}{a-2} + .... - \frac{1}{b-1} + \frac{1}{b-1} - \frac{1}{b} = $ $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$ Wi臋c teraz: $\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50}) = \frac{1}{4} \cdot {50 - 1}{1 \cdot 50} = \frac{49}{200}$ |
konciaq post贸w: 145 | 2013-11-22 21:54:47 mozna prosciej? skad ta sztuczka? |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-22 23:45:48 Mo偶esz te偶 skorzysta膰 z faktu, 偶e $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} = \frac{6 + 2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4 \cdot 6}$ i tak w ka偶dej parze s膮siednich u艂amk贸w - 艣rodkowy wyraz si臋 skr贸ci i zostanie Ci 2 dzielone przez iloraz najmniejszej i najwi臋kszej liczby z dw贸ch mianownik贸w - z tym, 偶e masz tych u艂amk贸w 48, co nie jest 偶adn膮 naturaln膮 pot臋g膮 dw贸jki, wi臋c na ko艅cu zostan膮 Ci jakie艣 brzydkie, du偶e, wzgl臋dnie pierwsze liczby, kt贸re trzeba b臋dzie wymno偶y膰, doda膰 i podzieli膰, co b臋dzie o wiele bardziej skomplikowane i zdecydowanie to odradzam. Je艣li masz problem ze zrozumieniem tej sztuczki, spr贸buj w drug膮 stron臋: We藕my sobie co艣 takiego: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ (czyli np. $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ albo $\frac{1}{7} - \frac{1}{8}$ - ale to, co zaraz wyci膮gniemy, chcemy zastosowa膰 do du偶ej ilo艣ci liczb, wi臋c b臋dziemy operowa膰 na bardziej og贸lnym n) Sprowad藕my do wsp贸lnego mianownika: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n(n+1)} - \frac{n}{n(n+1)} = \frac{n + 1 - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}$ Popatrz, doszli艣my do czego艣, co jest podobne do liczb z Twojego zadania. Z tym, 偶e u Ciebie liczby r贸偶ni膮 si臋 o 2, a nie o 1, wi臋c dla u艂atwienia wyci膮gamy sobie $\frac{1}{4}$ przed nawias. Popatrzmy jeszcze raz na to, co przed chwil膮 wymno偶yli艣my: $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ A teraz na zadanie: $\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + ... + \frac{1}{98 \cdot 100}$ Najpierw wyci膮gnijmy $\frac{1}{4}$ przed nawias: $\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50})$ Teraz w nawiasie mamy co艣 bardzo, bardzo podobnego do tego, co mamy na g贸rze: 48 u艂amk贸w, a ka偶dy w postaci takiej, jak prawa strona tego r贸wnania. Wi臋c zamiast u偶ywa膰 lewej, zapiszmy je w takiej postaci, jak prawe strony tego r贸wnania: $\frac{1}{2 \cdot 3}$ zapiszemy jako $\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3 \cdot 4}$ zapiszemy jako $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ i tak dalej: $\frac{1}{4} (\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{49 \cdot 50}) = \frac{1}{4} (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... -\frac{1}{49} + \frac{1}{49} - \frac{1}{50})$ Teraz widzimy, 偶e wszystkie te 艣rodkowe u艂amki si臋 poredukuj膮, bo prawie ka偶dy pojawia si臋 dwa razy: raz z plusem i raz z minusem. Zostanie nam tylko: $\frac{1}{4} (1 - \frac{1}{50}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{49}{50} = \frac{49}{200}$ Co chcieli艣my pokaza膰. Mam nadziej臋, 偶e pomog艂am. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj