Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3548
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| konciaq postów: 145 |  2013-11-25 19:16:00Dla jakich wartości parametru m równanie: a) |x+1|=mx ma rozwiazanie b) |x-1|+|x+1|=m nie ma rozwiazania c) |x+1|-|x-1|=mx+m-2 ma nieskonczenie wiele rozwiazan? |
| mimi postów: 171 | 2013-11-25 19:56:30 a.) $|x + 1| = mx$ Po lewej mamy wartość bezwzględną, po prawej więc musimy mieć liczbę nieujemną: $mx \ge 0$ Oznacza to, że dla $ m = 0$ znak przy $x$ nie ma znaczenia i istnieje jedno rozwiązanie: $x = -1$ Dla $m > 0$, $x > 0$ Stąd x + 1 > 0, a więc: $x + 1 = mx$ $x - mx = 1$ $x (1 - m) = 1$ $x = \frac{1}{1 - m}$ Przede wszystkim, $m \neq 1$. Poza tym, założyliśmy, że x jest dodatnie, więc i 1 - m musi być dodatnie, stąd m < 1 $m \in (0, 1)$ Gdy $m < 0$, $x < 0$ A więc $x + 1 < 1$ Tu musimy rozważyć dwa przypadki: $x \ge -1$ i $x < -1$ Gdy $x \ge -1$ $|x + 1| = x + 1$ $x + 1 = mx$ $x(1 - m) = 1$ $x = \frac{1}{1 - m}$ Założyliśmy, że $m$ jest ujemne, więc $1 - m $ musi być dodatnie - prawa strona jest więc dodatnia, ale lewa z założeń ujemna, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania. Zaś dla $x \le -1$ $|x + 1| = -x - 1$ $-x - 1 = mx$ $-x - mx = -1$ $-x (1 + m) = -1$ $x = \frac{1}{1 + m}$ Aby x było ujemne, 1 + m musi również być ujemne, stąd$ m < -1$, założyliśmy jednak, że $x \le -1$, więc $|x| \ge 1$ Aby $|\frac{1}{1 + m}| \ge 1$, musi zachodzić $|1 + m| \le 1$, $-1 - m \le 1$ $-m \le 2$ $m \ge -2$ A więc w tym przypadku$m \in <-2, -1)$ Ostatecznie, $m \in <-2, -1) \cup <0, 1)$ |
| mimi postów: 171 | 2013-11-25 23:12:42 b.) $|x - 1| + |x + 1| = m$ Przede wszystkim po lewej stronie mamy sumę dwóch liczb nieujemnych, więc rozwiązanie nie będzie istniało dla ujemnego m. Aby m było równe 0, obie liczby po lewej musiałyby być równe 0, co nie jest możliwe, ponieważ są one sobie różne. Sprawdźmy, czy istnieje jakieś dodatnie m, dla którego rozwiązanie nie istnieje. Gdy $x < -1$ $-x + 1 -x - 1 = m$ $x = -\frac{1}{2} m$ $m > 2$ Gdy $x \in <-1; 1>$ $-x + 1 + x + 1 = m$ $m = 2$ Gdy $x > 1$ $x - 1 + x + 1 = m$ $x = \frac{1}{2} m$ $m > 2$ Jak widać, rozwiązanie nie istnieje, gdy $m < 2$ |
| mimi postów: 171 | 2013-11-25 23:22:14 c.) $|x + 1| - |x - 1|= mx + m - 2$ Gdy $x \le -1 $ $-x - 1 + x - 1 = mx + m - 2$ $mx + m = 0$ $mx = - m$ $x = -1$ Tylko jedno rozwiązanie bez względu na wartość parametru m. Gdy $x \in (-1, 1)$ $x + 1 + x - 1 = mx + m - 2$ $2x = mx + m - 2$ $m(x + 1) = 2(x + 1)$ $m = 2$ Równanie staje się tożsamościowe (a więc ma nieskończenie wiele rozwiązań) dla $m = 2$ Gdy $x \ge 1$ $x + 1 - x + 1= mx + m - 2$ $mx + m = 4$ $x = \frac{4 - m}{m}$ Tu więc może być co najwyżej jedno rozwiązanie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj