Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3548
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
konciaq post贸w: 145 |  2013-11-25 19:16:00Dla jakich warto艣ci parametru m r贸wnanie: a) |x+1|=mx ma rozwiazanie b) |x-1|+|x+1|=m nie ma rozwiazania c) |x+1|-|x-1|=mx+m-2 ma nieskonczenie wiele rozwiazan? |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-25 19:56:30 a.) $|x + 1| = mx$ Po lewej mamy warto艣膰 bezwzgl臋dn膮, po prawej wi臋c musimy mie膰 liczb臋 nieujemn膮: $mx \ge 0$ Oznacza to, 偶e dla $ m = 0$ znak przy $x$ nie ma znaczenia i istnieje jedno rozwi膮zanie: $x = -1$ Dla $m > 0$, $x > 0$ St膮d x + 1 > 0, a wi臋c: $x + 1 = mx$ $x - mx = 1$ $x (1 - m) = 1$ $x = \frac{1}{1 - m}$ Przede wszystkim, $m \neq 1$. Poza tym, za艂o偶yli艣my, 偶e x jest dodatnie, wi臋c i 1 - m musi by膰 dodatnie, st膮d m < 1 $m \in (0, 1)$ Gdy $m < 0$, $x < 0$ A wi臋c $x + 1 < 1$ Tu musimy rozwa偶y膰 dwa przypadki: $x \ge -1$ i $x < -1$ Gdy $x \ge -1$ $|x + 1| = x + 1$ $x + 1 = mx$ $x(1 - m) = 1$ $x = \frac{1}{1 - m}$ Za艂o偶yli艣my, 偶e $m$ jest ujemne, wi臋c $1 - m $ musi by膰 dodatnie - prawa strona jest wi臋c dodatnia, ale lewa z za艂o偶e艅 ujemna, wi臋c w tym przypadku nie ma rozwi膮zania. Za艣 dla $x \le -1$ $|x + 1| = -x - 1$ $-x - 1 = mx$ $-x - mx = -1$ $-x (1 + m) = -1$ $x = \frac{1}{1 + m}$ Aby x by艂o ujemne, 1 + m musi r贸wnie偶 by膰 ujemne, st膮d$ m < -1$, za艂o偶yli艣my jednak, 偶e $x \le -1$, wi臋c $|x| \ge 1$ Aby $|\frac{1}{1 + m}| \ge 1$, musi zachodzi膰 $|1 + m| \le 1$, $-1 - m \le 1$ $-m \le 2$ $m \ge -2$ A wi臋c w tym przypadku$m \in <-2, -1)$ Ostatecznie, $m \in <-2, -1) \cup <0, 1)$ |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-25 23:12:42 b.) $|x - 1| + |x + 1| = m$ Przede wszystkim po lewej stronie mamy sum臋 dw贸ch liczb nieujemnych, wi臋c rozwi膮zanie nie b臋dzie istnia艂o dla ujemnego m. Aby m by艂o r贸wne 0, obie liczby po lewej musia艂yby by膰 r贸wne 0, co nie jest mo偶liwe, poniewa偶 s膮 one sobie r贸偶ne. Sprawd藕my, czy istnieje jakie艣 dodatnie m, dla kt贸rego rozwi膮zanie nie istnieje. Gdy $x < -1$ $-x + 1 -x - 1 = m$ $x = -\frac{1}{2} m$ $m > 2$ Gdy $x \in <-1; 1>$ $-x + 1 + x + 1 = m$ $m = 2$ Gdy $x > 1$ $x - 1 + x + 1 = m$ $x = \frac{1}{2} m$ $m > 2$ Jak wida膰, rozwi膮zanie nie istnieje, gdy $m < 2$ |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-25 23:22:14 c.) $|x + 1| - |x - 1|= mx + m - 2$ Gdy $x \le -1 $ $-x - 1 + x - 1 = mx + m - 2$ $mx + m = 0$ $mx = - m$ $x = -1$ Tylko jedno rozwi膮zanie bez wzgl臋du na warto艣膰 parametru m. Gdy $x \in (-1, 1)$ $x + 1 + x - 1 = mx + m - 2$ $2x = mx + m - 2$ $m(x + 1) = 2(x + 1)$ $m = 2$ R贸wnanie staje si臋 to偶samo艣ciowe (a wi臋c ma niesko艅czenie wiele rozwi膮za艅) dla $m = 2$ Gdy $x \ge 1$ $x + 1 - x + 1= mx + m - 2$ $mx + m = 4$ $x = \frac{4 - m}{m}$ Tu wi臋c mo偶e by膰 co najwy偶ej jedno rozwi膮zanie. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj