Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3549
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
Szymon post贸w: 657 |  2013-11-25 20:46:531. Czy istnieje taka para liczb ca艂kowitych (a,b), gdzie suma : sumy, r贸偶nicy, iloczynu i ilorazu liczb a i b daje wynik 150 ? 2. Czy r贸wnanie kwadratowe x^2+px+q o nieparzystych wsp贸艂czynnikach mo偶e mie膰 pierwiastek wymierny ? |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-25 23:35:53 1. $a + b + a - b + ab + \frac{a}{b} = 150$ $2a + ab + \frac{a}{b} = 150$ Zauwa偶my, 偶e po lewej stronie mamy sum臋 dw贸ch liczb ca艂kowitych oraz pewnego u艂amka, a po prawej stronie liczb臋 ca艂kowit膮. Tak wi臋c, ten u艂amek r贸wnie偶 musi by膰 ca艂kowity, wi臋c $a = kb$ i $k \in \mathbb{Z}$ $2kb + kb^{2} + k = 150$ $k (b^{2} + 2b + 1) = 150$ $k (b + 1)^{2} = 150$ Rozwi膮zaniem tego r贸wnania mo偶e by膰 np. $k = 6, b = 4$ Otrzymujemy w贸wczas $a = 24, b = 4$ Sprawd藕my, czy ta para liczb spe艂nia warunki zadania: $24 + 4 = 28$ $24 - 4 = 20$ $24 \cdot 4 = 96$ $\frac{24}{4} = 6$ $28 + 20 + 96 + 6 = 150$ Skoro potrafimy poda膰 tak膮 par臋, to mo偶emy by膰 pewni, 偶e istnieje. |
mimi post贸w: 171 | 2013-11-26 00:09:35 2. $x^{2} + px + q = 0$ $x = \frac{-p \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ Poniewa偶 $p$ i $2$ s膮 liczbami ca艂kowitymi, tak膮 te偶 liczb膮 musi by膰 pierwiastek z delty, aby x by艂 liczb膮 wymiern膮 $\sqrt{p^{2} - 4q} = m, m \in \mathbb{Z}$ $p^{2} - 4q = m^{2}$ Z za艂o偶e艅 wynika, 偶e $p$ i $q$ s膮 liczbami nieparzystymi, wi臋c liczba $p^{2} - 4q $ te偶 musi by膰 nieparzysta, a wi臋c liczba $m$ jest nieparzysta. $p^{2} - m^{2} = 4q$ $(p - m)(p + m) = 4q$ Poniewa偶 liczby $p$ i $m$ s膮 nieparzyste, mo偶emy je zapisa膰 jako $p = 2a + 1, q = 2b + 1$ $(2a + 1 - 2b - 1)(2a + 1 + 2b + 1) = 4q$ $2(a - b) \cdot 2(a + b + 1) = 4q$ $q = (a - b)(a + b + 1)$ Je艣li liczby $a$ i $b$ s膮 obie parzyste lub obie nieparzyste, to $(a - b)$ jest liczb膮 parzyst膮, w przeciwnym razie $(a + b + 1)$ jest liczb膮 parzyst膮. Mno偶膮c jak膮kolwiek liczb臋 ca艂kowit膮 przez liczb臋 parzyst膮 zawsze otrzymujemy liczb臋 parzyst膮. Jednak za艂o偶yli艣my, 偶e q jest liczb膮 nieparzyst膮, doszli艣my wi臋c do sprzeczno艣ci. Skoro tak, to takie r贸wnanie nie mo偶e mie膰 pierwiastka wymiernego. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj