Liczby rzeczywiste, zadanie nr 3586

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
mago postów: 87	2013-12-01 21:43:00 Ze zbioru Z=$\left\{\begin{matrix}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \end{matrix}\right.$ losujemy 3 razy po jednej cyfrze bez zwracania i układamy w kolejności losowania liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożymy liczbę większą od 443

mimi postów: 171	2013-12-01 22:55:50 Ze zbioru 10 cyfr losujemy 3 bez zwracania i w kolejności, w jakiej je wylosowaliśmy, układamy je w liczbę: oznacza to, że nie musi ona koniecznie być trzycyfrowa, bo pierwszą wylosowaną cyfrą może być zero. Liczb, których możemy ułożyć z trzech cyfr jest 1000 (od 0 do 999). Musimy odrzucić z nich wszystkie te, wśród których dwie lub trzy cyfry się powtarzają (ponieważ losujemy bez zwracania). Będą to liczby postaci AAB (np. 112), BAA (np. 211), ABA (np. 121). Rozważmy najpierw przypadki, gdy $A \neq B$. Mamy 10 możliwości dla cyfry A i dla każdego z nich 9 możliwości dla cyfry B, łącznie mamy więc 90 możliwości razy trzy możliwe postaci = 270. Zaś gdy $A = B$, wszystkie te postaci to ta sama liczba, więc wyniku nie mnożymy przez 3. Mamy 10 możliwych A, a skoro B jest takie samo, nie mnożymy tego już przez nic więcej. Ostatecznie musimy odrzucić 280 liczb. 1000 - 280 = 720 Tyle liczb możemy wylosować. Ile zaś liczb spełniających warunek (większych od 443) możemy wylosować? Liczb trzycyfrowych większych od 443 jest 556. Musimy z nich odrzucić wszystkie liczby postaci AAB, BAA i ABA. Tym razem musimy rozważyć te postaci osobno. Załóżmy, że $A \neq B$ Aby liczba AAB była większa od 443, gdy A > 4 mamy 9 możliwości dla B ($5 \cdot 9 = 45$), zaś gdy A = 4, dla B mamy tylko 5 możliwości (5, 6, 7, 8, 9) - łącznie mamy więc tu 50 możliwości. Aby liczba BAA była większa niż 443, gdy B > 4 dla A mamy 9 możliwości ($5 \cdot 9 = 45$), a gdy B = 4 dla A mamy tylko 5 możliwości - tu też mamy więc 50 możliwości. Aby liczba ABA była większa od 443, gdy A > 4 dla B mamy 9 możliwości, zaś gdy A = 4, dla B mamy 5 możliwości - tu też otrzymujemy 50. Zaś gdy A = B, mamy 6 możliwości (444, 555, 666, 777, 888, 999). Łącznie jest więc 156 możliwości, które należy odrzucić. $556 - 156 = 400$ Poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi więc $\frac{400}{720} = \frac{5}{9}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj