Geometria, zadanie nr 3762

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pm12 postów: 493	2013-12-26 18:26:39 Prostokąt ABCD jest wpisany w okrąg o. Punkty E i F są środkami odcinków odpowiednio AB i BC. Przez punkty E i F poprowadzono prostą przecinającą okrąg o w punktach M i N. Znając długości boków prostokąta (a,b), podaj długość cięciwy MN.

irena postów: 2636	2013-12-27 07:59:55 R- promień okręgu opisanego na prostokącie ABCD Trójkąt EBF jest podobny do trójkąta ABC. Skala tego podobieństwa jest równa $\frac{1}{2}$. Są to trójkąty prostokątne. \|AB\|=a \|BC\|=b \|AC\|=c $c^2=a^2+b^2$ $c=\sqrt{a^2+b^2}$ $R=\frac{1}{2}c=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ h- wysokość trójkąta ABC opuszczona na przeciwprostokątną AC. Z pola trójkąta ABC: $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$ $h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ d- wysokość trójkąta EBF opuszczona na przeciwprostokątną EF (odległość cięciwy MN od środka okręgu opisanego na prostokącie ABCD). $d=\frac{1}{2}h=\frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}$ \|MN\|=x $(\frac{1}{2}x)^2+d^2=R^2$ $\frac{1}{4}x^2=\frac{a^2+b^2}{4}-\frac{a^2b^2}{4(a^2+b^2)}$ $x^2=\frac{(a^2+b^2)^2-a^2b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^4+a^2b^2+b^4}{a^2+b^2}$ $x=\sqrt{\frac{a^4+a^2b^2+b^4}{a^2+b^2}}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj