Geometria, zadanie nr 3865

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
simp123 postów: 10	2014-01-12 22:24:52 Niech $\alpha, \beta, \gamma$ będą kątami , jakie tworzy przekątna prostopadłościanu z krawędziami. Wykaż, że w każdym prostopadłościanie wielkość $sin^{2}\alpha + sin^{2}\beta + sin^{2}\gamma$; ma stałą wartość.

tumor postów: 8070	2014-01-13 08:51:23 Umieśćmy prostopadłościan w układzie, z wierzchołkiem na środku układu i krawędziami na dodatnich półosiach. Wtedy dla punktu x,y,z różnego od środka układu leżącego na przekątnej wychodzącej ze środka układu mamy $cos \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ $cos \beta = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ $cos \gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ Suma kwadratów tych cosinusów to 1. Suma kwadratów sinusów to 3-1=2, niezależnie od wyboru prostopadłościanu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj