Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4005

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
kuba43 postów: 3	2014-02-19 22:49:35 Witam chciałbym dowiedzieć się jaka jest dziedzina takiej funkcji $f(x)=\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}$ i dlaczego Wiadomość była modyfikowana 2014-02-19 22:57:43 przez kuba43

naimad21 postów: 380	2014-02-19 23:05:58 Wyrażanie pod pierwsiastkiem musi być dodatnie, a na dodatek mianownik nie może równać się zero, więc mamy dwie nierównośći: $2x-6\ge0$ $2x\ge6$ $x\ge3$ $1-x>o$ $-x>-1$ $x<1$ Dziedziną funkcji jest iloczyn zbioru rozwiązań tych dwóch nierówności, zatem $Df\in\emptyset$

kuba43 postów: 3	2014-02-19 23:11:25 a dlaczego pierwsze równanie to $2x-6\ge0$ a nie $\frac{2x-6}{1-x}\ge0$ którego teoretycznie nie umiem rozwiązać

naimad21 postów: 380	2014-02-19 23:42:59 $\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}=\frac{\sqrt{2x-6}}{\sqrt{1-x}}$ jeśli wybieramy Twój sposób, to musimy rozwiązać równanie podane przez Ciebie $\frac{2x-6}{1-x}\ge0$ Dziedziną tej funkcji jest zbiór R\{1} $\frac{2x-6}{1-x}\ge0 \iff (2x-6)(1-x)\ge 0$ lewa strona równania jest większa od 0 wtedy i tylko wtedy gdy oba nawiasy są dodatnie, albo oba są ujemne, mamy zatem dwa przypadki: $1'$ $2x-6>0 \vee 1-x>0 $ z pierwszej nierówności wychodzi, że x>3 z drugiej że x<1, zatem iloczynem tych dwóch zbiorów jest zbiór pusty, jeszcze pozostaje Ci sprawdzić dla jakiego x oba równania są mniejsze od 0, gdzie również wyjdzie Ci sprzeczność. Polecam stosować pierwszy sposób.

tumor postów: 8070	2014-02-20 08:20:42 Ja może zacznę od pewnej naoczności. Jeśli wstawimy $x=2$, dostaniemy bez problemów $f(x)=\sqrt{2}$, czyli $2\in D_f$. :) Poprawne rozumowanie to zauważenie, że $\frac{2x-6}{1-x}>0 \iff (2x-6)(1-x)>0$, a to jest zwyczajna nierówność kwadratowa. Ramiona paraboli w dół, pierwiastki $1$ i $3$, czyli rozwiązaniem jest przedział $(1,3)$. Do tego $x=1$ do dziedziny nie wchodzi, bo zeruje mianownik, natomiast $x=3$ do dziedziny wchodzi, bo zeruje licznik. $D_f=(1,3]$ ---- Najważniejszy błąd powyższej próby polega na uznaniu, że: $\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}=\frac{\sqrt{2x-6}}{\sqrt{1-x}}$ NIE. Wzór $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ jest poprawny dla $a,b>0$ Zatem (gdy już znamy dziedzinę $(1,3]$) możemy napisać $\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}=\frac{\sqrt{6-2x}}{\sqrt{x-1}}$ Co jest skorzystaniem z tego wzoru, ale tym razem poprawnym. Natomiast bez żadnej uprzedniej wiedzy o dodatniości a,b nie można wzoru stosować, zatem przed ustaleniem dziedziny można co najwyżej rozpatrywać przypadki. a) $a,b>0$ i wtedy $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ b) $a,b<0$ i wtedy $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$ Na podstawie tego pierwszego katastrofalnego błędu naimad21 rozumuje, że $\frac{2x-6}{1-x}>0 \iff 2x-6>0 \wedge 1-x>0$ bo w rzeczywistości tylko ten fragment przelicza uczciwie. W drugim poście pisze już sensowniej, że $\frac{2x-6}{1-x}>0 \iff (2x-6>0 \wedge 1-x>0) \vee (\iff 2x-6<0 \wedge 1-x<0)$ i każe rozpatrywać dwa przypadki, jednakże wciąż gdzieś w umyśle szkodzi ten błąd sprzed chwili, bo naimad21 nie raczy przeliczyć drugiego przypadku, zgaduje, że wyjdzie sprzeczność. Zgaduje błędnie. Nie polecam stosować "pierwszego sposobu", bo jest błędny. "Drugi sposób" jest poprawnym, ale niepotrzebnym rozbiciem na przypadki. Dużo lepiej zauważyć, że iloraz jest wtedy dodatni, gdy iloczyn jest dodatni, a wtedy mamy funkcję kwadratową i szybkie rozwiązanie. :)

kuba43 postów: 3	2014-02-20 10:23:46 dziękuje a co w przypadku kiedy iloczyn wyjdzie ujemny ??

tumor postów: 8070	2014-02-20 11:09:50 dla $x$ takich, że iloczyn jest ujemny, także iloraz byłby ujemny. Zatem pierwiastek z takiego ilorazu nie jest liczbą rzeczywistą. Takie $x$ nie należy do dziedziny. Ogólniej: jeśli masz jakąś funkcję i pytanie o dziedzinę, to w liceum oznacza to wyznaczenie zbiorów $x$, dla których wynik przedstawionych działań istnieje i jest liczbą rzeczywistą. Wynik dzielenia przez zero nie istnieje, natomiast wynik pierwiastkowania (parzystego stopnia) liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą, dlatego odpowiednie $x$ nie będą należeć do dziedziny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj