Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4005
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
kuba43 post贸w: 3 |  2014-02-19 22:49:35Witam chcia艂bym dowiedzie膰 si臋 jaka jest dziedzina takiej funkcji $f(x)=\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}$ i dlaczego Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2014-02-19 22:57:43 przez kuba43 |
naimad21 post贸w: 380 | 2014-02-19 23:05:58 Wyra偶anie pod pierwsiastkiem musi by膰 dodatnie, a na dodatek mianownik nie mo偶e r贸wna膰 si臋 zero, wi臋c mamy dwie nier贸wno艣膰i: $2x-6\ge0$ $2x\ge6$ $x\ge3$ $1-x>o$ $-x>-1$ $x<1$ Dziedzin膮 funkcji jest iloczyn zbioru rozwi膮za艅 tych dw贸ch nier贸wno艣ci, zatem $Df\in\emptyset$ |
kuba43 post贸w: 3 | 2014-02-19 23:11:25 a dlaczego pierwsze r贸wnanie to $2x-6\ge0$ a nie $\frac{2x-6}{1-x}\ge0$ kt贸rego teoretycznie nie umiem rozwi膮za膰 |
naimad21 post贸w: 380 | 2014-02-19 23:42:59 $\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}=\frac{\sqrt{2x-6}}{\sqrt{1-x}}$ je艣li wybieramy Tw贸j spos贸b, to musimy rozwi膮za膰 r贸wnanie podane przez Ciebie $\frac{2x-6}{1-x}\ge0$ Dziedzin膮 tej funkcji jest zbi贸r R\{1} $\frac{2x-6}{1-x}\ge0 \iff (2x-6)(1-x)\ge 0$ lewa strona r贸wnania jest wi臋ksza od 0 wtedy i tylko wtedy gdy oba nawiasy s膮 dodatnie, albo oba s膮 ujemne, mamy zatem dwa przypadki: $1\'$ $2x-6>0 \vee 1-x>0 $ z pierwszej nier贸wno艣ci wychodzi, 偶e x>3 z drugiej 偶e x<1, zatem iloczynem tych dw贸ch zbior贸w jest zbi贸r pusty, jeszcze pozostaje Ci sprawdzi膰 dla jakiego x oba r贸wnania s膮 mniejsze od 0, gdzie r贸wnie偶 wyjdzie Ci sprzeczno艣膰. Polecam stosowa膰 pierwszy spos贸b. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-20 08:20:42 Ja mo偶e zaczn臋 od pewnej naoczno艣ci. Je艣li wstawimy $x=2$, dostaniemy bez problem贸w $f(x)=\sqrt{2}$, czyli $2\in D_f$. :) Poprawne rozumowanie to zauwa偶enie, 偶e $\frac{2x-6}{1-x}>0 \iff (2x-6)(1-x)>0$, a to jest zwyczajna nier贸wno艣膰 kwadratowa. Ramiona paraboli w d贸艂, pierwiastki $1$ i $3$, czyli rozwi膮zaniem jest przedzia艂 $(1,3)$. Do tego $x=1$ do dziedziny nie wchodzi, bo zeruje mianownik, natomiast $x=3$ do dziedziny wchodzi, bo zeruje licznik. $D_f=(1,3]$ ---- Najwa偶niejszy b艂膮d powy偶szej pr贸by polega na uznaniu, 偶e: $\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}=\frac{\sqrt{2x-6}}{\sqrt{1-x}}$ NIE. Wz贸r $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ jest poprawny dla $a,b>0$ Zatem (gdy ju偶 znamy dziedzin臋 $(1,3]$) mo偶emy napisa膰 $\sqrt{\frac{2x-6}{1-x}}=\frac{\sqrt{6-2x}}{\sqrt{x-1}}$ Co jest skorzystaniem z tego wzoru, ale tym razem poprawnym. Natomiast bez 偶adnej uprzedniej wiedzy o dodatnio艣ci a,b nie mo偶na wzoru stosowa膰, zatem przed ustaleniem dziedziny mo偶na co najwy偶ej rozpatrywa膰 przypadki. a) $a,b>0$ i wtedy $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ b) $a,b<0$ i wtedy $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$ Na podstawie tego pierwszego katastrofalnego b艂臋du naimad21 rozumuje, 偶e $\frac{2x-6}{1-x}>0 \iff 2x-6>0 \wedge 1-x>0$ bo w rzeczywisto艣ci tylko ten fragment przelicza uczciwie. W drugim po艣cie pisze ju偶 sensowniej, 偶e $\frac{2x-6}{1-x}>0 \iff (2x-6>0 \wedge 1-x>0) \vee (\iff 2x-6<0 \wedge 1-x<0)$ i ka偶e rozpatrywa膰 dwa przypadki, jednak偶e wci膮偶 gdzie艣 w umy艣le szkodzi ten b艂膮d sprzed chwili, bo naimad21 nie raczy przeliczy膰 drugiego przypadku, zgaduje, 偶e wyjdzie sprzeczno艣膰. Zgaduje b艂臋dnie. Nie polecam stosowa膰 \"pierwszego sposobu\", bo jest b艂臋dny. \"Drugi spos贸b\" jest poprawnym, ale niepotrzebnym rozbiciem na przypadki. Du偶o lepiej zauwa偶y膰, 偶e iloraz jest wtedy dodatni, gdy iloczyn jest dodatni, a wtedy mamy funkcj臋 kwadratow膮 i szybkie rozwi膮zanie. :) |
kuba43 post贸w: 3 | 2014-02-20 10:23:46 dzi臋kuje a co w przypadku kiedy iloczyn wyjdzie ujemny ?? |
tumor post贸w: 8070 | 2014-02-20 11:09:50 dla $x$ takich, 偶e iloczyn jest ujemny, tak偶e iloraz by艂by ujemny. Zatem pierwiastek z takiego ilorazu nie jest liczb膮 rzeczywist膮. Takie $x$ nie nale偶y do dziedziny. Og贸lniej: je艣li masz jak膮艣 funkcj臋 i pytanie o dziedzin臋, to w liceum oznacza to wyznaczenie zbior贸w $x$, dla kt贸rych wynik przedstawionych dzia艂a艅 istnieje i jest liczb膮 rzeczywist膮. Wynik dzielenia przez zero nie istnieje, natomiast wynik pierwiastkowania (parzystego stopnia) liczby ujemnej nie jest liczb膮 rzeczywist膮, dlatego odpowiednie $x$ nie b臋d膮 nale偶e膰 do dziedziny. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj