Ciągi, zadanie nr 4454
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| aress_poland postów: 66 |  2014-06-02 22:41:25Udowodnij, że jeśli |q| < 1, to ciąg nieskończony $(a_{n})$, gdzie $a_{n} = q^{n}$, jest zbieżny i $lim_{n \to \infty} q^{n} =0 $. |
| tumor postów: 8070 | 2014-06-03 09:25:39 Skorzystamy z definicji zbieżności Cauchy'ego, czyli przed patrzeniem na dowód trzeba tę definicję znać. Ustalmy $\epsilon> 0$. Mamy dwa przypadki: 1. $q=0$, wówczas przeskakujemy to co dalej napiszę i od razu czytamy wniosek 2. $q=\neq 0$ wówczas niech $n= max(1,[log_{|q|}\epsilon]+1)$ gdzie $[a]$ oznacza sufit z $a$ (czyli najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą niż argument $a$). Jeśli $n=1$ to skaczemy od razu do wniosku. Jeśli $n>1$, to $log_{|q|}\epsilon>0$ Wtedy $n>log_{|q|}\epsilon$ wówczas $|q|^n<|q|^{log_{|q|}\epsilon}$ WNIOSEK: $|q|^n=|q^n|<\epsilon$ Pokazaliśmy zatem, że dla pewnego $n$ mamy $|q^n|<\epsilon$. Ponadto, skoro $|q|<1$, to $|q^{n+1}|=|q^n|*|q|\le |q^n|<\epsilon$. Zatem ciąg spełnia definicję Cauchy'ego zbieżności z granicą 0. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj