Ci膮gi, zadanie nr 4454
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
aress_poland post贸w: 66 |  2014-06-02 22:41:25Udowodnij, 偶e je艣li |q| < 1, to ci膮g niesko艅czony $(a_{n})$, gdzie $a_{n} = q^{n}$, jest zbie偶ny i $lim_{n \to \infty} q^{n} =0 $. |
tumor post贸w: 8070 | 2014-06-03 09:25:39 Skorzystamy z definicji zbie偶no艣ci Cauchy\'ego, czyli przed patrzeniem na dow贸d trzeba t臋 definicj臋 zna膰. Ustalmy $\epsilon> 0$. Mamy dwa przypadki: 1. $q=0$, w贸wczas przeskakujemy to co dalej napisz臋 i od razu czytamy wniosek 2. $q=\neq 0$ w贸wczas niech $n= max(1,[log_{|q|}\epsilon]+1)$ gdzie $[a]$ oznacza sufit z $a$ (czyli najmniejsz膮 liczb臋 ca艂kowit膮 nie mniejsz膮 ni偶 argument $a$). Je艣li $n=1$ to skaczemy od razu do wniosku. Je艣li $n>1$, to $log_{|q|}\epsilon>0$ Wtedy $n>log_{|q|}\epsilon$ w贸wczas $|q|^n<|q|^{log_{|q|}\epsilon}$ WNIOSEK: $|q|^n=|q^n|<\epsilon$ Pokazali艣my zatem, 偶e dla pewnego $n$ mamy $|q^n|<\epsilon$. Ponadto, skoro $|q|<1$, to $|q^{n+1}|=|q^n|*|q|\le |q^n|<\epsilon$. Zatem ci膮g spe艂nia definicj臋 Cauchy\'ego zbie偶no艣ci z granic膮 0. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj