Równania i nierówności, zadanie nr 4514

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
wiewiooorek postów: 1	2014-09-16 13:06:51 Witajcie. Mam wątpliwość co do pewnego zadania, rozwiązałem go w dwojaki sposób i mam wątpliwości co do poprawności rozwiązania. "Wyznacz wszystkie pary naturalnych liczb x i y, dla których spełniona jest nierówność $x^{3}+y^{3} \le x^{2}y+xy^{2}".$ Rozwiązanie nr 1: $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2}) \le xy(x+y)$ $(x^{2}-2xy+y^{2}) \le 0 $ $(x-y)^{2} \le 0 $ prawda tylko dla x=y, więc nierówność spełniają pary liczb postaci $ (x,x):x \in N $ Rozwiązanie nr 2: $x^{3}+y^{3}-x^{2}y-xy^{2}\le 0 $ $x^{2}(x-y)-y^{2}(x-y)\le 0 $ $(x^{2}-y^{2})(x-y)\le 0 $ $(x+y)(x-y)^{2}\le 0 $ $x+y=0 \vee (x-y)^{2}=0 $ wtedy x=-y $ \wedge $ x=y W pierwszym przypadku podzieliłem stronami przez (x+y), stąd uciekło jedno rozwiązanie, które ujawniło się w przypadku drugim i w końcu nie wiem czy, skoro dziedziną jest N to czy odpowiedź może być postaci $ (-y,y):y\in N $ ? Czy mogę w takich przypadkach dzielić przez (x+y) czy jest to niedozwolone i po prostu rozwiązywać drugim sposobem i na końcu odrzucić jedną z odpowiedzi? Pozdrawiam, Paweł. Wiadomość była modyfikowana 2014-09-16 13:08:07 przez wiewiooorek

ttomiczek postów: 208	2014-09-16 13:56:24 metoda 1 jest ok, tylko musisz założyć, przy dzielenieu, że x+y$\neq$ 0, czyli $x\neq 0 i y \neq 0$

ttomiczek postów: 208	2014-09-16 14:03:51 Oczywiście dla x=0 i y=0 łatwo widać, że nierówność jest prawdziwa. Metoda 2 też jest ok, odpowiedzi x=-y musimy odrzucić, bo nie spełniają założeń.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj