Pierwiastki, potęgi, logarytmy, zadanie nr 4533

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
pawel1312 postów: 14	2014-09-25 19:52:22 Udowodnij, że : $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $ jest liczbą niewymierną

tumor postów: 8070	2014-09-25 20:11:34 przypuśćmy, że jest to liczba wymierna, czyli $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ dla $p,q$ całkowitych, $q \neq 0$. Wówczas, podnosząc obie strony do kwadratu dostajemy $2\sqrt{6}+5=\frac{p^2}{q^2}$ $\sqrt{6}=\frac{p^2}{2q^2}-2,5=\frac{a}{b}$ dla $a,b$ całkowitych, $b\neq 0$, $nwd(a,b)=1$ (bo kwadrat liczby wymiernej byłby wymierny, różnica liczb wymiernych jest wymierna). Dostaliśmy zatem wniosek, że $\sqrt{6}$ jest liczbą wymierną. Podnosząc do kwadratu jeszcze raz dostajemy $6=\frac{a^2}{b^2}$ $6b^2=a^2$ Skoro lewa strona dzieli się przez $2$, to prawa też, zatem $a$ jest parzyste, $a^2$ dzieli się przez $4$, czyli $b$ dzieli się przez $2$. Ale n$wd(a,b)=1$. To sprzeczność. Błędny był zatem punkt wyjścia, przypuszczenie, że $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ jest wymierna.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj