logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4588

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zanetka66
postów: 114
2014-10-29 19:03:27

Rozwiaz
-x^3+7x+6>=0


tumor
postów: 8070
2014-10-29 19:30:52

grupujemy lewą stronę na przykład tak
$=-x^3+3x^2-3x^2+9x-2x+6=
(x-3)(-x^2-3x-2)$

$\Delta=1$
$x_1=\frac{3-1}{-2}=-1$
$x_2=-2$

$x_3=3$

Rysujemy wykres od prawej od dołu, w miejscach zerowych mamy przecięcia wykresu z osią ox.

Odczytujemy z wykresu odpowiedź
$x\in (-\infty; -2>\cup <-1;3>$


zanetka66
postów: 114
2014-10-29 20:13:44

Dziękuję


zanetka66
postów: 114
2014-10-29 20:17:06

A skad mam wiedzić jak grupować lewą stroną, bo próbowałam i mi nie wychodziło


tumor
postów: 8070
2014-10-29 20:52:34

Można na wiele sposobów, aż wyjdzie, to jest kwestia wprawy.

Możesz też użyć pewnego twierdzenia, mówiącego, że jeśli równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one postaci
$\frac{p}{q}$, gdzie $p$ jest (całkowitym) dzielnikiem wyrazu wolnego, a $q$ jest (całkowitym) dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

W przypadku powyżej wyraz wolny to 6, ma dzielniki $-6,-3,-2,-1,1,2,3,6$, współczynnik przy najwyższej potędze to -1, ma dzielniki $-1,1$.
Można z nich zatem zrobić ułamki:

$\pm \frac{1}{1}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{6}{1}$

I po kolei sprawdzamy, czy są pierwiastkami wielomianu powyżej. Poznanie już jednego z pierwiastków ułatwia grupowanie.


zanetka66
postów: 114
2014-10-30 17:12:16

I co robimy dalej jak sprawdzimy, czy są pierwiastkami wielomianu, jak to dalej pogrupować?


tumor
postów: 8070
2014-10-30 17:36:09

Jeśli wielomian ma jakiś pierwiastek $c$, to dzieli się przez dwumian $(x-c)$, czyli można taki dwumian wyłączyć przed nawias.

Weźmy nasz wielomian $-x^3+7x+6$ i załóżmy, że próbowaliśmy za $x$ podstawić $-1$ i się okazało, że $-1$ jest pierwiastkiem. No super. Zatem przed nawias możemy wyłączyć $(x-(-1))$ czyli $(x+1)$.

Będzie
$-x^3+7x+6=(x+1)(-x^2$...
no i co dalej? Musimy tak uzupełnić ten drugi nawias, żeby po wymnożeniu się zgadzało, czyli
$-x^3+7x+6=(x+1)(-x^2+x+6)$

Dalej można obliczać $\Delta$, ale można tak samo. Sprawdzamy, że pierwiastkiem trójmianu kwadratowego jest na przykład liczba $-2$. Czyli możemy wyłączyć przed nawias $(x+2)$. Będzie
$-x^3+7x+6=(x+1)(-x^2+x+6)=(x+1)(x+2)(-x+3)$

i tu łatwo odczytać rozwiązania.
żeby tak wyciągać przed nawias płynnie, potrzeba trochę wprawy. Możesz też użyć dzielenia wielomianów (na wzór dzielenia pisemnego), albo dzielenia wielomianów za pomocą schematu Hornera. Wszystko zależy od tego, którą metodę znasz i którą uznasz za najprostszą.


zanetka66
postów: 114
2014-10-30 17:41:35

Dzięki wielkie, teraz już rozumiem :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj