Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4701
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
aress_poland post贸w: 66 |  2014-11-23 17:29:53Dane s膮 liczby dodatnie a,b,c. Udowodnij, 偶e [\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \ge ab+bc+ca] |
rockstein post贸w: 33 | 2014-11-23 22:32:50 Wychodz臋 z oczywistej nier贸wno艣ci: x^2+y^2>=2*x*y, mno偶臋 j膮 obustronnie przez (x/y) i otrzymuj臋: (x^3)/y+x*y>=2*(x^2). Bior膮c kolejno: x=a, y=b mam: (a^3)/b+(a*b)>=2*(a^2), x=b, y=c mam: (b^3)/c+(b*c)>=2*(b^2), x=c, y=a mam: (c^3)/a+(c*a)>=2*(c^2) Sumuj膮c otrzymane nier贸wno艣ci stronami: (a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a+a*b+b*c+c*a>=2*(a^2)+2*(b^2)+2*(c^2) Korzystaj膮c z nier贸wno艣ci pomi臋dzy 艣redni膮 arytmetyczn膮 a geometryczn膮: a^2+b^2>=2*sqrt(a^2*b^2)=2*a*b b^2+c^2>=2*sqrt(b^2*c^2)=2*b*c c^2+a^2>=2*sqrt(c^2*a^2)=2*c*a; sumuj膮c te trzy nier贸wno艣ci: 2*(a^2)+2*(b^2)+2*(c^2)>=2*a*b+2*b*c+2*c*a, wstawiam otrzyman膮 nier贸wno艣膰 w praw膮 stron臋 wyra偶enia zapisanego w wierszu (7): (a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a+a*b+b*c+c*a>=2*(a*b)+2*(b*c)+2*(c*a) Dokonuj膮c redukcji wyraz贸w podobnych otrzymuj臋: (a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a>=(a*b)+(b*c)+(c*a) cbdo |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj