logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Liczby rzeczywiste, zadanie nr 4840

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

smog
postów: 9
2014-12-27 23:35:07

Proszę o pomoc w rozwiązaniu. Z góry Serdecznie Dziękuje

1 Sprawdź czy nieskończony ciąg ( $a_{n}$ ), jest monotoniczny, jeśli:
a) $a_{n}$ = $(-1)^{2n+1}$
b) $a_{n}$ = $(n+4)^{2}$

2 Dany jest ciąg arytmetyczny ( $a_{n}$ ) określany wzorem rekurencyjnym
$\left\{\begin{matrix} a_1=-7 \\ a_n=a_{n-1}+3 \end{matrix}\right.$

a) Wyznacz siódmy wyraz tego ciągu
b) Czy jest to ciąg malejący, rosnący czy stały ?

3) Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego, którego $a_{13}=0$ ,
$a_{29}= 8$

4) Wyznacz ogólny wyraz ciągu geometrycznego ( $a_{n}$) , wiedząc, że
$a_5=-1$ ,
$a_8=-\frac{8}{27}$.
Zbadaj monotoniczność tego ciągu.

5) Określ stopień jednomianu :
a)
$f(x)=\sqrt{3}(x^4)^3\cdot x^7$
b)
$g(x)=0,2\cdot x^n$


Zgodnie z Regulaminem w jednym temacie może być co najwyżej 5 zadań. Pozostałe proszę wpisać w następnym poście


Wiadomość była modyfikowana 2014-12-28 08:07:18 przez irena

irena
postów: 2636
2014-12-28 08:09:22

1.
a)
$a_n=(-1)^{2n+1}$

Liczba (2n+1) jest liczbą nieparzystą, więc dla każdego n będzie
$a_n=-1$

Ciąg jest monotoniczny- jest ciągiem stałym


irena
postów: 2636
2014-12-28 08:15:53

1.
b)
$a_n=(n+4)^2$

Można tak:
Funkcja $f(x)=(x+4)^2$ to funkcja kwadratowa, której wykresem jest parabola z ramionami skierowanymi w górę, o wierzchołku W=(-4, 0).
Dla każdego $x\to<-4;\infty)$ funkcja ta jest rosnąca.
Wniosek - dla każdego $n\in n_+$ zachodzi
$a_{n+1}>a_n$

czyli ciąg jest monotoniczny - jest ciągiem rosnącym.

Albo tak:
$a_{n+1}=(n+1+4)^2=(n+5)^2$

$a_{n+1}-a_n=(n+5)^2-(n+4)^2=(n+5+n+4)(n+5-n-4)=2n+9>0$

Ciąg jest rosnący


irena
postów: 2636
2014-12-28 08:18:37

2.
$\left\{\begin{matrix} a_1=-7\\ a_{n+1}=a_n+3 \end{matrix}\right.$

To ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie -7 i różnicy równej 3.

a)
$a_7=a_1+6r=-7+6\cdot3=-7+18=11$

b)
Ponieważ różnica ciągu r=3>0, więc jest to ciąg rosnący


irena
postów: 2636
2014-12-28 08:20:25

3.
$a_{13}=0$
$a_{29}=8$

$a_{29}-a_{13}=16r$

$16r=8-0=8$

$r=0,5$

$a_1=a_{13}-12r=0-12\cdot0,5=0-6=-6$


irena
postów: 2636
2014-12-28 08:25:59

4.
$a_5=-1$
$a_8=-\frac{8}{27}$

$\frac{a_8}{a_5}=q^3=\frac{-\frac{8}{27}}{-1}=\frac{8}{27}$

$q=\frac{2}{3}$

$a_1=\frac{a_5}{q^4}=\frac{-1}{(\frac{2}{3})^4}=-\frac{81}{16}$


$a_n=a_1q^{n-1}=-\frac{81}{16}\cdot(\frac{2}{3})^{n-1}=-(\frac{2}{3})^{n-5}$

Wszystkie wyrazy ciągu są ujemne, iloraz 0<q<1, więc ciąg jest rosnący


irena
postów: 2636
2014-12-28 08:27:13

5.
a)
Stopień wielomianu:
$3\cdot4+7=19$

b)
Stopień wielomianu - n (?)


smog
postów: 9
2014-12-28 14:53:17

Serdecznie Panu Dziękuje za rozwiązanie zadań. Pozdrawiam

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj