logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Funkcje, zadanie nr 4939

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dp121
postów: 12
2015-01-23 15:25:02

Temat: Równanie kwadratowe z parametrem.

W 1 zad. + uzasadnienie.



panrafal
postów: 177
2015-01-23 16:26:40

1. Zauważ, że można wyłączyć przed nawias $mx$, czyli ta funkcja jest równa $mx(x-m)$. Widać, że przyjmuje zero dla $x=0 $ i $x=m$. To są jej pierwiastki.

a) funkcja kwadratowa ma ramiona do góry jeśli współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, w tym przypadku $m$. Zatem przy warunku $m>0$ funkcja będzie miała ramiona skierowane do góry, a brzuszek pod osią x, pomiędzy 0 i m ( bo to są jej pierwiastki). Zatem ten podpunkt jest prawdziwy, bo pod osią x są jej wartości ujemne.

b) Dla m<0 funkcja ma ramiona skierowane do dołu, a brzuch na nad osią x, pomiędzy 0 i m. Czyli też tak.

c) Zauważ, że ten podpunkt jest sprzeczny z prawdziwym podpunktem b, więc jest nieprawdziwy.

2. Funkcja kwadratowa jest dodatnia dla wszystkich liczb rzeczywistych jeśli współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, a delta jest ujemna. Delta w tym wypadku jest równa $m^2- 12$. Musisz, więc rozwiązać nierówność $ m^2-12<0$.




irena
postów: 2639
2015-01-25 16:37:04

3.
$(k^2-k-6)x^2+3(k+2)x+1>0$

Jeśli
$k^2-k-6=0$

$(k-3)(k+2)=0$
k=3 lub k=-2

Jeśli k=-2, to mamy nierówność
$0x^2+0x+1>0$

Prawdziwą dla każdej liczby rzeczywistej x

W innym przypadku musi być:
$\left\{\begin{matrix} k^2-k-6>0 \\ \Delta<0\end{matrix}\right.$

1)
$(k-3)(k+2)>0$
$x\in(-\infty;-2)\cup(3;\infty)$

2)
$\Delta=9(k^2+4k+4)-4(k^2-k-6)=5k^2+40k+60$
$k^2+8k+12>0$
(x+2)(x+6)>0
$x\in(-\infty;-6)\cup(-2;\infty)$

1) i 2)
$k\in(-\infty;-6)\cup(3;\infty)$

Odp:
$x\in(-\infty;-6)\cup(3;\infty)\cup\{-2\}$


irena
postów: 2639
2015-01-25 17:09:04

5.
$f(x)=x^2+(m-2)x+m^2-2m+2$

Dla dowolnego rzeczywistego m wykresem funkcji f(x) jest parabola z ramionami skierowanymi w górę.

Sprawdźmy liczbę jej miejsc zerowych w zależności od m:
$\Delta=(m-2)^2-4(m^2-2m+2)=m^2-4m+4-4m^2+8m-8=-3m^2+4m-4$

$\Delta_1=16-48=-24<0$

Dla każdego rzeczywistego m $\Delta<0$

Funkcja f(x) nie ma miejsc zerowych.
Cała parabola leży więc nad osią OX dla każdego rzeczywistego m.

Wniosek:
Dla dowolnej wartości liczby rzeczywistej m funkcja f(x) dla każdego rzeczywistego x przyjmuje tylko wartości dodatnie.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 82 drukuj