logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Geometria, zadanie nr 4979

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

owczar0005
postów: 144
2015-02-04 19:17:03

Proszę o pomoc w tym zadaniu. (poziom podstawowy )
Zad.26 Dany jest trójkąt opisany na okręgu o promieniu r.Długości boków tego trójkąta są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego . Wykaż, że jedna z wysokości trójkąta jest równa 3r.


tumor
postów: 8085
2015-02-04 19:42:11

niech długości będą $a-b,a,a+b$

$r=\frac{2P}{(a-b)+a+(a+b)}=\frac{2P}{3a}$
stąd
$3ar=2P=ah$

Zatem
$3r=h$
Przy tym $h$ jest wysokością opuszczoną na bok $a$, czyli drugi wyraz w ciągu arytmetycznym.




agus
postów: 2296
2015-02-04 19:57:38

Można inaczej (dłuższe rozwiązanie):

x,y,z długości boków trójkąta tworzące ciąg arytmetyczny, czyli

$y=\frac{x+z}{2}$

stąd
x+z=2y (1)

Jeśli narysujesz trójkąt opisany na okręgu i poprowadzisz promienie okręgu do punktów styczności, to trójkąt zostanie podzielony na 3 trójkąty: o podstawie x i wysokości r, o podstawie y i wysokości r oraz o podstawie z i wysokości r.

Stąd pole trójkąta wynosi

$\frac{1}{2}xr+\frac{1}{2}yr+\frac{1}{2}zr=\frac{1}{2}(x+y+z)r$

podstawiając (1)

$\frac{1}{2}\cdot 3yr$

pole trójkąta można też zapisać jako $\frac{1}{2}yh$

Zatem

$\frac{1}{2}yh=\frac{1}{2}\cdot 3yr$

h=3r co należało wykazać


owczar0005
postów: 144
2015-02-05 12:53:51

Dzięki:)

Wiadomość była modyfikowana 2015-02-05 13:04:53 przez owczar0005
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 94 drukuj