logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Prawdopodobieństwo, zadanie nr 5003

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

846610478
postów: 10
2015-02-08 11:25:55

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach ABiCD, dłuższym ramieniu o długości 8\pierwiastek z 3 oraz kącie ostrym równym 30 stopni. Oblicz pola trójkątów AOB i COD , gdzie O jest punktem przecięcia przekątnych trapezu, jeżeli jego obwód jest równy 12pierwiastka z 3 + 24.


irena
postów: 2636
2015-02-10 07:27:27


Narysuj prostokątny trapez ABCD, w którym AB to dłuższa, CD- krótsza podstawa.
Kąty proste są przy wierzchołkach A i D, a kąt $30^0$ to kąt o wierzchołku B.

Poprowadź wysokość CE na podstawę AB.
|CE|=|AD|
$|BC|=8\sqrt{3}$

Z własności trójkąta prostokątnego o kątach $90^0,30^0,60^0$ masz:
$|CE|=\frac{1}{2}|BC|=4\sqrt{3}$
$|BE|=|CE|\cdot\sqrt{3}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12$

Oznacz:
|CD|=|AE|=x.

Z obwodu trapezu:
$x+12+8\sqrt{3}+x+4\sqrt{3}=12\sqrt{3}+24$
$2x=12$
$x=6$

Stąd:
$|AB|=6+12=18$
$|CD|=6$

Poprowadź przekątne trapezu BD i AC. Oznacz O- ich punkt przecięcia.
Trójkąty AOB i COD są podobne. Skala podobieństwa AOB do COD jest równa
$k=\frac{18}{6}=3$

Wysokość trapezu jest równa sumie wysokości obu trójkątów poprowadzonych odpowiednio na podstawy AB i CD.
Wysokość trójkąta AOB jest 3 razy większa od wysokości COD, więc:
$h_{AOB}=\frac{3}{4}\cdot4\sqrt{3}=3\sqrt{3}$

$P_{AOB}=\frac{1}{2}\cdot18\cdot3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$

Pole trójkąta COD jest $3^2=9$ razy mniejsze od pola AOB
$P_{COD}=\frac{27\sqrt{3}}{9}=3\sqrt{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 24 drukuj