logowanie

matematyka » forum » liceum » zadanie

Prawdopodobieństwo, zadanie nr 5004

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aress_poland
postów: 61
2015-02-08 17:09:11

Piętnaście osób trzeba podzielić na 3 grupy, po pięć osób w każdej grupie. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli uporządkowanie w grupie nie ma znaczenia oraz:
a) kolejność grup jest istotna
b) kolejność grup nie jest istotna?

Wiadomość była modyfikowana 2015-02-08 17:09:41 przez aress_poland

gaha
postów: 137
2015-02-08 17:46:29

Zdaje się, że to będzie tak:

a) Wybór 5 osób z 15 to: ${15 \choose 5}$
Zostało 10 osób, więc wybór do drugiej grupy to ${10 \choose 5}$
Trzecia grupa dostaje wszystko pozostałe.
Kolejność ma tutaj znaczenie, więc odpowiedzią jest: ${15 \choose 5} * {10 \choose 5}$

b) To samo co poprzednio, tylko trzeba wynik podzielić przez $3!$, wtedy usuniemy znaczenie kolejności grup.


aress_poland
postów: 61
2015-02-08 18:06:42

Dlaczego w przypadku b dzielimy przez 3! ?


gaha
postów: 137
2015-02-08 18:26:45

Kolejność grup jest nieistotna w tym podpunkcie.
Liczba wszystkich możliwych ustawień tych 3 grup to 3!, więc chcąc je usunąć należy przez 3! podzielić.


battis
postów: 1
2015-03-11 17:46:48

Skoro kolejność grup nie ma znaczenia, to nie powinno to być pomnożone przez $3!$ ?


tumor
postów: 8085
2015-03-11 20:26:26

jeśli na przykład mamy liczby 1,2,3, to zrobić z nich zbiór można na jeden sposób, bo $\{1,2,3\}=\{2,3,1\}=...$ etc.
Każde ułożenie jest TYM SAMYM zbiorem.

Jeśli jednak uwzględniamy kolejność, to (1,2,3)\neq (2,3,1), każde ułożenie w innej kolejności to nowy sposób.

Jeśli mamy pewną liczbę wyników, w których kolejność była istotna, to by uzyskać ilość wyników przy nieistotnej kolejności musimy podzielić przez liczbę wyników, które utożsamiamy.

Jest 3!=6 wyników, które są RÓŻNE jeśli uwzględniamy kolejność, ale które nie są różne, gdy przestajemy ją uwzględniać. W związku z tym liczba wyników przy uwzględnianiu kolejności jest 6 razy większa niż bez uwzględniania.

a) zaczynamy od wyobrażenia sobie, że grupy są numerowane, na przykład I, II, III. Wybieramy ludzi do kolejno pierwszej, drugiej, trzeciej grupy. Jeśli ludzi z grupy II przestawimy z ludźmi z grupy III to mamy nowe, inne od poprzedniego ustawienie.

b) jeśli jednak kolejność grup nie ma znaczenia, to zamiana grup miejscami nic nie zmienia.
Poprzednio na 6 sposobów mogliśmy zamieniać grupy miejscami, a teraz te 6 sposobów utożsamiamy, traktujemy jak 1 sposób. Stąd podzielenie ilości wyników z a) przez 6.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 8 drukuj