logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - szkoła ponadpodstawowa » zadanie

Stereometria, zadanie nr 5012

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aress_poland
postów: 66
2015-02-09 16:01:17

Wyznacz objętość czworościanu, którego pięć krawędzi ma długość 2, a szósta ma długość $ \sqrt{6} $


tumor
postów: 8070
2015-02-09 17:28:50

Istnieje duży wzór na objętość czworościanu o zadanych krawędziach.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron#Heron-type_formula_for_the_volume_of_a_tetrahedron
o tu.

Natomiast można się obejść bez niego.

Niech trójkąt $2,2,\sqrt{6}$ jest podstawą czworościanu. Umiemy policzyć jego pole (np. ze wzoru Herona, ale może być też przez liczenie wysokości z Tw. Pitagorasa), umiemy też policzyć promień okręgu opisanego na tym trójkącie (cos dowolnego kąta z tw. cosinusów, a potem promień z tw. sinusów).

Z promienia okręgu opisanego na trójkącie i z długości krawędzi 2 obliczamy wysokość czworościanu (z tw. Pitagorasa).


---

Inny sposób.
Weźmy przekrój czworościanu przechodzący przez punkt w połowie krawędzi $\sqrt{6}$ i zawierający krawędź leżącą naprzeciw tego punktu.
Przekrój ten dzieli nasz czworościan na dwa inne czworościany. Z tw. Pitagorasa łatwo wyliczyć długości krawędzi tych czworościanów.
Zauważmy, że krawędzie $\frac{\sqrt{6}}{2}$ można potraktować jak wysokości odpowiednio obróconych czworościanów. Zatem ich objętości oddzielnie są łatwe do policzenia.


aress_poland
postów: 66
2015-02-09 20:53:38

Serdecznie dziękuję za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 42 drukuj